Упр.645 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Задача

1) Сделайте чертёж и введите необходимые обозначения.
2) Какую теорему из курса геометрии можно использовать при ответе на вопрос задачи?
3) Составьте уравнение и решите его.
4) Сформулируйте вывод и выполните проверку.

Подробный ответ

Пусть стороны прямоугольного треугольника образуют геометрическую прогрессию:

$$b,\; bq,\; bq^2,\quad q>1.$$

Тогда катеты равны $$b$$ и $$bq$$, а гипотенуза — $$bq^2$$.

По теореме Пифагора:

$$b^2+(bq)^2=(bq^2)^2.$$

Упростим:

$$b^2+b^2q^2=b^2q^4$$

$$b^2(1+q^2-q^4)=0.$$

Так как $$b>0$$, получаем:

$$1+q^2-q^4=0.$$

Положим $$t=q^2$$. Тогда

$$t^2-t-1=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=1+4=5,$$

$$t=\frac{1\pm\sqrt5}{2}.$$

Так как $$t=q^2>0$$, подходит только

$$q^2=\frac{1+\sqrt5}{2}.$$

Следовательно,

$$q=\sqrt{\frac{1+\sqrt5}{2}}.$$

Проверка: при таком $$q$$ действительно выполняется равенство $$b^2+(bq)^2=(bq^2)^2$$, значит стороны прямоугольного треугольника могут образовывать геометрическую прогрессию.