Упр.644 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 644 Сумма трёх положительных чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 15. Найдите эти числа, если известно, что, увеличив первое и второе числа на 1, а третье на 4 мы получим геометрическую прогрессию. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 makar9 644 95

Пусть три положительных числа, образующих арифметическую прогрессию, равны $$a-d,\ a,\ a+d.$$

По условию их сумма равна $$15$$, значит

$$ (a-d)+a+(a+d)=15 $$

$$ 3a=15,\quad a=5. $$

Тогда числа имеют вид $$5-d,\ 5,\ 5+d.$$

После увеличения первого и второго чисел на $$1$$, а третьего на $$4$$ получаем геометрическую прогрессию:

$$ 6-d,\ 6,\ 9+d. $$

Для геометрической прогрессии квадрат среднего члена равен произведению соседних:

$$ 6^2=(6-d)(9+d). $$

$$ 36=54+6d-9d-d^2 $$

$$ d^2+3d-18=0. $$

Решим квадратное уравнение:

$$ D=3^2-4\cdot 1\cdot(-18)=81, $$

$$ d=\frac{-3\pm 9}{2}. $$

Получаем:

$$ d_1=3,\quad d_2=-6. $$

Если $$d=3$$, то числа равны $$2,\ 5,\ 8$$.

Если $$d=-6$$, то числа равны $$11,\ 5,\ -1$$, но это не подходит, так как все числа должны быть положительными.

Ответ

$$2;\ 5;\ 8.$$