Упр.642 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 642. В равносторонний треугольник, сторона которого равна 16 см, вписан другой треугольник, вершинами которого являются середины сторон первого. Во второй треугольник таким же способом вписан третий и т. д. Докажите, что периметры треугольников образуют геометрическую прогрессию. Найдите периметр восьмого треугольника. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 makar9 642 95

Подробный ответ

Пусть периметр первого треугольника равен $$p_1$$, второго — $$p_2$$, третьего — $$p_3$$ и т. д.

Так как вершины каждого следующего треугольника — середины сторон предыдущего, то его сторона в 2 раза меньше стороны предыдущего. Значит, и периметр каждого следующего треугольника в 2 раза меньше предыдущего:

$$p_{n+1}=\frac{1}{2}p_n$$

Следовательно, периметры образуют геометрическую прогрессию со знаменателем

$$q=\frac{1}{2}$$

Периметр первого равностороннего треугольника:

$$p_1=3\cdot 16=48$$

Тогда периметр восьмого треугольника:

$$p_8=p_1q^7=48\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^7=\frac{48}{128}=\frac{3}{8}$$