Упр.641 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 641 Дан равносторонний треугольник со стороной 8 см. Из его высот построен второй треугольник. Из высот второго треугольника построен третий и т. д. Докажите, что периметры треугольников образуют геометрическую прогрессию, и найдите периметр шестого треугольника. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 makar9 641 95

В равностороннем треугольнике высота является одновременно медианой и биссектрисой. Пусть сторона n-го треугольника равна $$a_n$$, а его высота равна $$h_n$$.

Тогда по теореме Пифагора:

$$ a_n^2-\left(\frac{a_n}{2}\right)^2=h_n^2 $$

$$ h_n^2=a_n^2\left(1-\frac14\right)=\frac34a_n^2 $$

$$ h_n=\frac{\sqrt3}{2}a_n $$

Сторона следующего треугольника равна высоте предыдущего, значит

$$ a_{n+1}=h_n=\frac{\sqrt3}{2}a_n $$

Тогда периметр следующего треугольника:

$$ p_{n+1}=3a_{n+1}=3\cdot \frac{\sqrt3}{2}a_n=\frac{\sqrt3}{2}p_n $$

Следовательно, периметры треугольников образуют геометрическую прогрессию с знаменателем

$$ q=\frac{\sqrt3}{2} $$

Первый периметр:

$$ p_1=3\cdot 8=24 $$

Тогда

$$ p_6=p_1q^5=24\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^5 $$

$$ p_6=24\cdot \frac{3^2\sqrt3}{2^5}=\frac{27\sqrt3}{4} $$

Ответ

Периметры треугольников образуют геометрическую прогрессию, $$q=\frac{\sqrt3}{2}$$, $$p_6=\frac{27\sqrt3}{4}$$ см.