Упр.629 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 629. В треугольнике ABC (рис. 79) провели среднюю линию A1Cl, в треугольнике А1ВС1 также провели среднюю линию А2С2, во вновь образовавшемся треугольнике А2ВС2 снова провели среднюю линию А3С3 и т. д. Найдите площадь треугольника А9ВС9, если известно, что площадь треугольника ABC равна 768 см2. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 makar9 629 95

Подробный ответ

При проведении средней линии в треугольнике получаем треугольник, подобный исходному, с коэффициентом подобия $$k=\frac12.$$

Площади подобных треугольников относятся как квадраты коэффициента подобия, значит

$$q=k^2=\left(\frac12\right)^2=\frac14.$$

Следовательно, площади треугольников образуют геометрическую прогрессию с первым членом $$b_1=768$$ и знаменателем $$q=\frac14.$$

Тогда

$$b_9=b_1q^{8}=768\left(\frac14\right)^8.$$

Вычислим:

$$768\left(\frac14\right)^8=\frac{768}{4^8}=\frac{768}{65536}=\frac{3}{256}.$$

Значит, площадь треугольника $$A_9BC_9$$ равна $$\frac{3}{256}\text{ см}^2.$$