Упр.596 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 596 Известно, что числа а2, b2, с2 — последовательные члены арифметической прогрессии. Докажите, что числа 1/(b+c), 1/(a+c), 1/(a+b) также являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 makar9 596 95

Пусть $$a^2,\; b^2,\; c^2$$ — последовательные члены арифметической прогрессии. Тогда

$$2b^2=a^2+c^2.$$

Нужно доказать, что числа $$\frac1{b+c},\; \frac1{a+c},\; \frac1{a+b}$$ тоже образуют арифметическую прогрессию, то есть

$$\frac1{a+c}=\frac12\left(\frac1{b+c}+\frac1{a+b}\right).$$

Преобразуем правую часть:

$$ \frac12\left(\frac1{b+c}+\frac1{a+b}\right) = \frac{(a+b)+(b+c)}{2(a+b)(b+c)} = \frac{a+2b+c}{2(a+b)(b+c)}. $$

Теперь преобразуем левую часть к тому же виду. Из равенства $$2b^2=a^2+c^2$$ получаем

$$ 2b^2-a^2-c^2=0. $$

Рассмотрим разность:

$$ \frac1{a+c}-\frac1{b+c} = \frac{b-a}{(a+c)(b+c)}, $$

и

$$ \frac1{a+b}-\frac1{b+c} = \frac{c-a}{(a+b)(b+c)}. $$

Так как $$a^2,\; b^2,\; c^2$$ — члены арифметической прогрессии, то можно положить

$$ a^2=x,\quad b^2=x+d,\quad c^2=x+2d. $$

Тогда

$$ b^2-a^2=d,\qquad c^2-b^2=d. $$

Следовательно,

$$ \frac1{a+c}-\frac1{b+c} = \frac{b-a}{(a+c)(b+c)} = \frac{b^2-a^2}{(a+c)(b+c)(a+b)} = \frac{d}{(a+c)(b+c)(a+b)}, $$

и аналогично

$$ \frac1{a+b}-\frac1{b+c} = \frac{c-a}{(a+b)(b+c)} = \frac{c^2-a^2}{(a+b)(b+c)(a+c)} = \frac{2d}{(a+c)(b+c)(a+b)}. $$

Отсюда видно, что средний член равен полусумме крайних, то есть

$$ \frac1{a+c}=\frac12\left(\frac1{b+c}+\frac1{a+b}\right). $$

Значит, числа $$\frac1{b+c},\; \frac1{a+c},\; \frac1{a+b}$$ являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Ответ

$$\frac1{b+c},\; \frac1{a+c},\; \frac1{a+b}$$ — последовательные члены арифметической прогрессии.