Упр.595 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 595 Докажите, что если числа а, b, с являются последовательными членами арифметической прогрессии, то числа а2 + ab + b2, а2 + ас + с2 и b2 + bс + с2 также являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 makar9 595 95

Пусть $$a, b, c$$ — последовательные члены арифметической прогрессии. Тогда существует число $$d$$ такое, что

$$b=a+d,\qquad c=a+2d.$$

Найдём данные выражения:

$$a^2+ab+b^2=a^2+a(a+d)+(a+d)^2=3a^2+3ad+d^2,$$

$$a^2+ac+c^2=a^2+a(a+2d)+(a+2d)^2=3a^2+6ad+4d^2,$$

$$b^2+bc+c^2=(a+d)^2+(a+d)(a+2d)+(a+2d)^2=3a^2+9ad+7d^2.$$

Проверим, являются ли эти числа последовательными членами арифметической прогрессии:

$$\bigl(a^2+ac+c^2\bigr)-\bigl(a^2+ab+b^2\bigr)=3ad+3d^2,$$

$$\bigl(b^2+bc+c^2\bigr)-\bigl(a^2+ac+c^2\bigr)=3ad+3d^2.$$

Разности равны, значит, числа $$a^2+ab+b^2,$$ $$a^2+ac+c^2,$$ $$b^2+bc+c^2$$ действительно являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии.

Ответ

Да, эти числа образуют арифметическую прогрессию.