Упр.588 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

1) Предположив, что числа 20 и 35 являются членами арифметической прогрессии, выразите каждое из них через d, n или m, где d — разность прогрессии, n — номер члена, равного 20, m — номер члена, равного 35. Докажите, что n-1/m-1 = 8/23
2) Полагая, что n-1 = 8k и m-1=23k, где k принадлежит N, выразите тип через k. Обсудите, как, выбрав значение k, большее 1, можно получить арифметическую прогрессию, удовлетворяющую условию задачи. Выполните необходимые вычисления.
3) Объясните, почему значение k = 1 приводит к противоречию с условием задачи.

Пусть $$a_1=12$$ — первый член арифметической прогрессии, $$d$$ — её разность. Тогда

$$a_n=12+d(n-1), \qquad a_m=12+d(m-1).$$

Если числа $$20$$ и $$35$$ являются членами этой прогрессии, то

$$20=12+d(n-1),$$
$$35=12+d(m-1).$$

Отсюда

$$d(n-1)=8,$$
$$d(m-1)=23.$$

Делим первое равенство на второе:

$$\frac{n-1}{m-1}=\frac{8}{23}.$$

Это и требовалось доказать.

Теперь положим

$$n-1=8k,\qquad m-1=23k,\qquad k\in \mathbb{N}.$$

Тогда

$$n=8k+1,\qquad m=23k+1.$$

Из равенства $$d(n-1)=8$$ получаем

$$d\cdot 8k=8,$$
$$d=\frac{1}{k}.$$

Если выбрать любое $$k>1$$, то $$d=\frac{1}{k}\neq 1$$, и можно построить арифметическую прогрессию, удовлетворяющую условию задачи. Например, при $$k=2$$ имеем

$$n=17,\qquad m=47,\qquad d=\frac12.$$

Тогда

$$a_{17}=12+\frac12\cdot 16=20,$$
$$a_{47}=12+\frac12\cdot 46=35.$$

При $$k=1$$ получаем

$$n=9,\qquad m=24,\qquad d=1,$$

что противоречит условию $$d\neq 1$$.

Ответ

Да, могут. При этом $$\frac{n-1}{m-1}=\frac{8}{23}$$; например, при $$k=2$$ существует подходящая прогрессия, а при $$k=1$$ получается $$d=1$$, что невозможно.