Упр.556 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 556. Докажите, что множество решений неравенства |х| + |у| < = 1 задаётся фигурой, изображённой на рисунке 74. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 makar9 556 95

Рассмотрим неравенство $$|x|+|y|\le 1$$ по четвертям координатной плоскости.

1) Если $$x\ge 0,\ y\ge 0,$$ то $$|x|=x,\ |y|=y,$$ значит

$$x+y\le 1,\qquad y\le 1-x.$$

2) Если $$x\le 0,\ y\ge 0,$$ то $$|x|=-x,\ |y|=y,$$ значит

$$-x+y\le 1,\qquad y\le x+1.$$

3) Если $$x\le 0,\ y\le 0,$$ то $$|x|=-x,\ |y|=-y,$$ значит

$$-x-y\le 1,\qquad y\ge -x-1.$$

4) Если $$x\ge 0,\ y\le 0,$$ то $$|x|=x,\ |y|=-y,$$ значит

$$x-y\le 1,\qquad y\ge x-1.$$

Во всех четырёх случаях получаем область, ограниченную прямыми

$$x+y=1,\quad x-y=1,\quad -x+y=1,\quad -x-y=1.$$

Эти прямые образуют ромб с вершинами $$(-1,0),\ (0,1),\ (1,0),\ (0,-1).$$

Следовательно, множество решений неравенства $$|x|+|y|\le 1$$ — это закрашенная фигура на рисунке 74.

Ответ

Множество решений — ромб с вершинами $$(-1,0),\ (0,1),\ (1,0),\ (0,-1).$$