Упр.544 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 544. Диагональ прямоугольника равна 15 см. Если одну из его сторон уменьшить на 6 см, а другую уменьшить на 8 см, то периметр уменьшится в 3 раза. Найдите стороны прямоугольника. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 makar9 544 95

Пусть стороны прямоугольника равны $$x$$ и $$y$$.

По условию диагональ равна $$15$$ см, значит по теореме Пифагора:

$$x^2+y^2=15^2=225.$$

Если одну сторону уменьшить на $$6$$ см, а другую на $$8$$ см, то новый периметр станет в 3 раза меньше исходного:

$$2\bigl((x-6)+(y-8)\bigr)=\frac{2(x+y)}{3}.$$

Упростим:

$$3(x+y-14)=x+y$$

$$3x+3y-42=x+y$$

$$2x+2y=42$$

$$x+y=21.$$

Тогда $$y=21-x$$. Подставим в первое уравнение:

$$x^2+(21-x)^2=225$$

$$x^2+441-42x+x^2=225$$

$$2x^2-42x+216=0$$

$$x^2-21x+108=0.$$

Найдём корни:

$$D=21^2-4\cdot108=441-432=9,$$

$$x=\frac{21\pm 3}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=12,\quad y_1=21-12=9,$$

$$x_2=9,\quad y_2=21-9=12.$$

Следовательно, стороны прямоугольника равны $$9$$ см и $$12$$ см.

Ответ

$$9\text{ см и }12\text{ см}.$$