Упр.543 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 543. Если числитель обыкновенной дроби увеличить на 7, а знаменатель возвести в квадрат, то получится дробь, равная 3/4. Если же числитель оставить без изменения, а знаменатель увеличить на 6, то получится дробь, равная 1/2. Найдите эту дробь. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 makar9 543 95

Пусть числитель дроби равен $$x$$, а знаменатель — $$y$$.

По условию получаем систему:

$$ \begin{cases} \dfrac{x+7}{y^2}=\dfrac34,\\[6pt] \dfrac{x}{y+6}=\dfrac12. \end{cases} $$

Из второго уравнения:

$$ 2x=y+6,\qquad y=2x-6. $$

Подставим это в первое уравнение:

$$ \dfrac{x+7}{(2x-6)^2}=\dfrac34. $$

Перемножим крест-накрест:

$$ 4(x+7)=3(2x-6)^2. $$

Раскроем скобки:

$$ 4x+28=3(4x^2-24x+36) $$
$$ 4x+28=12x^2-72x+108 $$
$$ 12x^2-76x+80=0 $$
$$ 3x^2-19x+20=0. $$

Найдём корни:

$$ D=(-19)^2-4\cdot 3\cdot 20=361-240=121. $$

$$ x=\dfrac{19\pm 11}{6}. $$

Тогда

$$ x_1=\dfrac{30}{6}=5,\qquad x_2=\dfrac{8}{6}=\dfrac43. $$

Найдём соответствующие значения $$y$$:

$$ y_1=2\cdot 5-6=4,\qquad y_2=2\cdot \dfrac43-6=-\dfrac{10}{3}. $$

Проверим подходящее решение. При $$x=\dfrac43$$ и $$y=-\dfrac{10}{3}$$ дробь не удовлетворяет смыслу задачи, поэтому берём $$x=5$$, $$y=4$$.

Искомая дробь:

$$ \dfrac{x}{y}=\dfrac54. $$

Ответ

$$\dfrac54$$