Упр.542 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 542. Если числитель обыкновенной дроби возвести в квадрат, а знаменатель уменьшить на 1, то получится дробь, равная 2. Если же числитель дроби уменьшить на 1, а знаменатель увеличить на 1, то получится дробь, равная Найдите эту дробь. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 makar9 542 95

Пусть числитель дроби равен $$x,$$ а знаменатель — $$y.$$ Тогда по условию

$$\frac{x^2}{y-1}=2,$$

$$\frac{x-1}{y+1}=\frac14.$$

Из второго уравнения:

$$4(x-1)=y+1,$$

$$4x-4=y+1,$$

$$y=4x-5.$$

Подставим это в первое уравнение:

$$\frac{x^2}{(4x-5)-1}=2,$$

$$\frac{x^2}{4x-6}=2,$$

$$x^2=8x-12,$$

$$x^2-8x+12=0.$$

Найдём корни:

$$D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 12=64-48=16,$$

$$x=\frac{8\pm \sqrt{16}}{2}=\frac{8\pm 4}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=6,\quad x_2=2.$$

Тогда

$$y_1=4\cdot 6-5=19,$$

$$y_2=4\cdot 2-5=3.$$

Искомая дробь равна

$$\frac{6}{19} \text{ или } \frac{2}{3}.$$

Ответ

$$\frac{6}{19} \text{ или } \frac{2}{3}$$