Упр.537 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 537 Если умножить квадратный трёхчлен ах2 -2х + b на квадратный трёхчлен х2 + ах — 1, то получится многочлен четвёртой степени, в котором коэффициенты при х2 и х соответственно равны 8 и -2. Найдите а и b. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 makar9 537 95

Перемножим многочлены:

$$ (ax^2-2x+b)(x^2+ax-1)=ax^4+a^2x^3-ax^2-2x^3-2ax^2+2x+bx^2+abx-b. $$

Соберём подобные слагаемые:

$$ (ax^2-2x+b)(x^2+ax-1)=ax^4+(a^2-2)x^3+(b-3a)x^2+(ab+2)x-b. $$

По условию коэффициенты при $$x^2$$ и $$x$$ равны $$8$$ и $$-2$$ соответственно. Тогда

$$ \begin{cases} b-3a=8,\\ ab+2=-2. \end{cases} $$

Из первого уравнения:

$$ b=3a+8. $$

Подставим во второе:

$$ a(3a+8)+2=-2, $$

$$ 3a^2+8a+4=0. $$

Решим квадратное уравнение:

$$ D=8^2-4\cdot 3\cdot 4=64-48=16. $$

$$ a=\frac{-8\pm \sqrt{16}}{2\cdot 3}=\frac{-8\pm 4}{6}. $$

Получаем:

$$ a_1=-\frac{2}{3}, \quad a_2=-2. $$

Найдём соответствующие значения $$b$$:

$$ b_1=3\left(-\frac{2}{3}\right)+8=6, $$

$$ b_2=3(-2)+8=2. $$

Ответ

$$ a=-\frac{2}{3},\ b=6 \quad \text{или} \quad a=-2,\ b=2. $$