Упр.536 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Задача

а) система
x2+y2+x+y=18,
x2-y2+x-y=6;
б) система
x2y2+xy=72,
x+y=6;
в) система
(x+y)2-2(x+y)=15,
x+xy+y=11;
г) система
(x+y)2-4(x+y)=45,
(x-y)2-2(x-y)=3.

Подробный ответ

а) Сложим и вычтем уравнения системы:
$$ \begin{aligned} x^2+y^2+x+y&=18 \\ x^2-y^2+x-y&=6 \end{aligned} $$
$$ 2x^2+2x=24,\quad x^2+x-12=0 $$
$$ D=1+48=49,\quad x=\frac{-1\pm 7}{2} $$
$$ x_1=3,\quad x_2=-4 $$
Аналогично из разности уравнений:
$$ 2y^2+2y=12,\quad y^2+y-6=0 $$
$$ D=1+24=25,\quad y=\frac{-1\pm 5}{2} $$
$$ y_1=2,\quad y_2=-3 $$
Подбираем пары значений: $$ (3,2),\ (3,-3),\ (-4,2),\ (-4,-3). $$
б) Обозначим $$z=xy$$. Тогда система принимает вид:
$$ \begin{aligned} z^2+z&=72 \\ x+y&=6 \end{aligned} $$
$$ z^2+z-72=0,\quad D=1+288=289 $$
$$ z=\frac{-1\pm 17}{2} $$
$$ z_1=8,\quad z_2=-9 $$
1) Если $$xy=8$$, то
$$ y=6-x,\quad x(6-x)=8 $$
$$ x^2-6x+8=0,\quad (x-2)(x-4)=0 $$
$$ (x,y)=(2,4),\ (4,2) $$
2) Если $$xy=-9$$, то
$$ y=6-x,\quad x(6-x)=-9 $$
$$ x^2-6x-9=0,\quad D=36+36=72 $$
$$ x=\frac{6\pm \sqrt{72}}{2}=3\pm 3\sqrt{2} $$
Тогда
$$ y=6-x=3\mp 3\sqrt{2} $$
Получаем пары:
$$ (3-3\sqrt{2},\,3+3\sqrt{2}),\quad (3+3\sqrt{2},\,3-3\sqrt{2}) $$
в) Обозначим $$z=x+y$$. Тогда
$$ z^2-2z=15,\quad z^2-2z-15=0 $$
$$ D=4+60=64,\quad z=\frac{2\pm 8}{2} $$
$$ z_1=5,\quad z_2=-3 $$
1) Если $$x+y=5$$, то $$y=5-x$$ и
$$ x+x(5-x)+(5-x)=11 $$
$$ x^2-5x+6=0,\quad (x-2)(x-3)=0 $$
$$ (x,y)=(2,3),\ (3,2) $$
2) Если $$x+y=-3$$, то $$y=-3-x$$ и
$$ x+x(-3-x)+(-3-x)=11 $$
$$ x^2+4x+14=0 $$
$$ D=16-56=-40<0 $$
Решений нет.
г) Обозначим $$a=x+y$$, $$b=x-y$$. Тогда
$$ a^2-4a=45,\quad b^2-2b=3 $$
$$ a^2-4a-45=0,\quad D=196 $$
$$ a=\frac{4\pm 14}{2} $$
$$ a_1=9,\quad a_2=-5 $$
$$ b^2-2b-3=0,\quad D=16 $$
$$ b=\frac{2\pm 4}{2} $$
$$ b_1=3,\quad b_2=-1 $$
Теперь находим $$x$$ и $$y$$ из систем:
$$ x+y=9,\quad x-y=3 \Rightarrow x=6,\ y=3 $$
$$ x+y=9,\quad x-y=-1 \Rightarrow x=4,\ y=5 $$
$$ x+y=-5,\quad x-y=3 \Rightarrow x=-1,\ y=-4 $$
$$ x+y=-5,\quad x-y=-1 \Rightarrow x=-3,\ y=-2 $$