Упр.533 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

а) система
1/x+1/y=1/6,
2x-y=5;
б) система
1/x-1/y=1/20,
x+2y=14;
в) система
x+y=14,
x/y+y/x=2*1/2;
г) система
x-y=2,
x/y-y/x=5/6.

1. а) Из второго уравнения выразим $$y$$:

   $$y=2x-5.$$

   Подставим в первое уравнение:

   $$\frac{1}{x}+\frac{1}{2x-5}=\frac{1}{6}.$$

   Умножим на $$6x(2x-5)$$:

   $$6(2x-5)+6x=x(2x-5).$$

   $$12x-30+6x=2x^2-5x,$$

   $$2x^2-23x+30=0.$$

   $$D=23^2-4\cdot 2\cdot 30=289,$$

   $$x=\frac{23\pm 17}{4}.$$

   Тогда $$x_1=10,\; x_2=\frac{3}{2}.$$

   Найдём $$y$$:

   $$y_1=2\cdot 10-5=15,\qquad y_2=2\cdot \frac{3}{2}-5=-2.$$

   Получаем пары $$\left(10;15\right)$$ и $$\left(\frac{3}{2};-2\right).$$

2. б) Из второго уравнения выразим $$x$$:

   $$x=14-2y.$$

   Подставим в первое уравнение:

   $$\frac{1}{14-2y}-\frac{1}{y}=\frac{1}{20}.$$

   Умножим на $$20y(14-2y)$$:

   $$20y-20(14-2y)=y(14-2y).$$

   $$20y-280+40y=14y-2y^2,$$

   $$2y^2+46y-280=0,$$

   $$y^2+23y-140=0.$$

   $$D=23^2+4\cdot 140=1089,$$

   $$y=\frac{-23\pm 33}{2}.$$

   Тогда $$y_1=5,\; y_2=-28.$$

   Найдём $$x$$:

   $$x_1=14-2\cdot 5=4,\qquad x_2=14-2\cdot(-28)=70.$$

   Получаем пары $$\left(4;5\right)$$ и $$\left(70;-28\right).$$

3. в) Из первого уравнения:

   $$y=14-x.$$

   Подставим во второе уравнение:

   $$\frac{x}{14-x}+\frac{14-x}{x}=2\frac{1}{2}=\frac{5}{2}.$$

   Умножим на $$2x(14-x)$$:

   $$2x^2+2(14-x)^2=5x(14-x).$$

   $$2x^2+2(196-28x+x^2)=70x-5x^2,$$

   $$9x^2-126x+392=0,$$

   $$x^2-14x+48=0.$$

   $$D=14^2-4\cdot 48=4,$$

   $$x=\frac{14\pm 2}{2}.$$

   Тогда $$x_1=6,\; x_2=8.$$

   Найдём $$y$$:

   $$y_1=14-6=8,\qquad y_2=14-8=6.$$

   Получаем пары $$\left(6;8\right)$$ и $$\left(8;6\right).$$

4. г) Из первого уравнения:

   $$y=x-2.$$

   Подставим во второе уравнение:

   $$\frac{x}{x-2}-\frac{x-2}{x}=\frac{5}{6}.$$

   Умножим на $$6x(x-2)$$:

   $$6x^2-6(x-2)^2=5x(x-2).$$

   $$6x^2-6(x^2-4x+4)=5x^2-10x,$$

   $$5x^2-34x+24=0.$$

   $$D=34^2-4\cdot 5\cdot 24=676,$$

   $$x=\frac{34\pm 26}{10}.$$

   Тогда $$x_1=6,\; x_2=0{,}8.$$

   Найдём $$y$$:

   $$y_1=6-2=4,\qquad y_2=0{,}8-2=-1{,}2.$$

   Получаем пары $$\left(6;4\right)$$ и $$\left(0{,}8;-1{,}2\right).$$

Ответ

а) $$\left(10;15\right),\left(\frac{3}{2};-2\right)$$; б) $$\left(4;5\right),\left(70;-28\right)$$; в) $$\left(6;8\right),\left(8;6\right)$$; г) $$\left(6;4\right),\left(0{,}8;-1{,}2\right).$$