Упр.532 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

а) система
(x + у)(х — у) = 0,
2х — у = 1;
б) система
х2 + у2 — 100,
(х — 7y)(х + 7y) = 0;
в) система
х2 + у2 = 25,
(х — 3)(у — 5) = 0;
г) система
х2 — у2 = 50,
x(y + 1) = 0.

1. а) Из второго уравнения получаем $$y=2x-1.$$

   Тогда первое уравнение принимает вид

   $$ (x+y)(x-y)=0 $$

   Рассмотрим два случая:

   1) $$x+y=0,$$ тогда $$x= -y,$$ и

   $$ 2x-y=1 \Rightarrow 2(-y)-y=1 \Rightarrow -3y=1 \Rightarrow y=-\frac13,\quad x=\frac13. $$

   2) $$x-y=0,$$ тогда $$x=y,$$ и

   $$ 2x-y=1 \Rightarrow 2y-y=1 \Rightarrow y=1,\quad x=1. $$

2. б) Из второго уравнения

   $$ (x-7y)(x+7y)=0 $$

   получаем два случая:

   1) $$x-7y=0,$$ то есть $$x=7y.$$ Подставим в первое уравнение:

   $$ x^2+y^2=100 \Rightarrow 49y^2+y^2=100 \Rightarrow 50y^2=100 \Rightarrow y^2=2. $$

   Значит, $$y=\pm\sqrt2,$$ тогда $$x=\pm 7\sqrt2.$$

   2) $$x+7y=0,$$ то есть $$x=-7y.$$ Тогда

   $$ x^2+y^2=100 \Rightarrow 49y^2+y^2=100 \Rightarrow y^2=2, $$

   откуда $$y=\pm\sqrt2,$$ $$x=\mp 7\sqrt2.$$

3. в) Из второго уравнения

   $$ (x-3)(y-5)=0 $$

   следует: либо $$x=3,$$ либо $$y=5.$$

   1) Если $$x=3,$$ то

   $$ x^2+y^2=25 \Rightarrow 9+y^2=25 \Rightarrow y^2=16 \Rightarrow y=\pm 4. $$

   2) Если $$y=5,$$ то

   $$ x^2+y^2=25 \Rightarrow x^2+25=25 \Rightarrow x^2=0 \Rightarrow x=0. $$

4. г) Из второго уравнения

   $$ x(y+1)=0 $$

   получаем: либо $$x=0,$$ либо $$y=-1.$$

   1) Если $$x=0,$$ то

   $$ x^2-y^2=50 \Rightarrow -y^2=50, $$

   что невозможно.

   2) Если $$y=-1,$$ то

   $$ x^2-y^2=50 \Rightarrow x^2-1=50 \Rightarrow x^2=51 \Rightarrow x=\pm\sqrt{51}. $$

Ответ

а) $$\left(\frac13;-\frac13\right),\ (1;1)$$;

б) $$\left(\sqrt2;7\sqrt2\right),\ \left(-\sqrt2;-7\sqrt2\right),\ \left(\sqrt2;-7\sqrt2\right),\ \left(-\sqrt2;7\sqrt2\right)$$;

в) $$\left(3;4\right),\ \left(3;-4\right),\ \left(0;5\right)$$;

г) $$\left(\sqrt{51};-1\right),\ \left(-\sqrt{51};-1\right)$$.