Упр.529 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Задача

а) система
x2+y2=40,
xy=-12;
б) система
x2+2y=228,
3×2-2y2=172.

Подробный ответ

а) Сложим уравнения системы, предварительно умножив второе на $$2$$:
$$ \begin{aligned} x^2+y^2&=40,\\ 2xy&=-24. \end{aligned} $$
Тогда
$$ x^2+2xy+y^2=16, $$
то есть
$$ (x+y)^2=16. $$
Следовательно, $$x+y=4$$ или $$x+y=-4$$.
1) Если $$x+y=4$$, то $$x=4-y$$. Подставим в $$xy=-12$$:
$$ y(4-y)=-12 $$
$$ y^2-4y-12=0 $$
$$ (y-6)(y+2)=0 $$
Отсюда $$y=6$$ или $$y=-2$$.
Тогда соответственно $$x=-2$$ или $$x=6$$.
Получаем пары $$(-2; 6)$$ и $$(6; -2)$$.
2) Если $$x+y=-4$$, то $$x=-4-y$$. Подставим в $$xy=-12$$:
$$ y(-4-y)=-12 $$
$$ y^2+4y-12=0 $$
$$ (y+6)(y-2)=0 $$
Отсюда $$y=-6$$ или $$y=2$$.
Тогда соответственно $$x=2$$ или $$x=-6$$.
Получаем пары $$(2; -6)$$ и $$(-6; 2)$$.
б) Из первого уравнения выразим $$2y$$:
$$ x^2+2y=228 \Rightarrow 2y=228-x^2. $$
Подставим во второе уравнение:
$$ 3x^2-2y^2=172. $$
Удобнее сложить уравнения системы в виде
$$ \begin{aligned} x^2+2y&=228,\\ 3x^2-2y^2&=172. \end{aligned} $$
Из первого уравнения видно, что при решении получается $$x^2=100$$, значит
$$ x=\pm 10. $$
Тогда из $$x^2+2y=228$$:
$$ 100+2y=228, $$
$$ 2y=128, $$
$$ y=64. $$
Но это противоречит второму уравнению, значит в записи системы есть опечатка. По изображению и приведённому решению верная система:
$$ \begin{aligned} x^2+2y^2&=228,\\ 3x^2-2y^2&=172. \end{aligned} $$
Тогда складываем уравнения:
$$ 4x^2=400, $$
$$ x^2=100, $$
$$ x=\pm 10. $$
Из первого уравнения:
$$ 100+2y^2=228, $$
$$ 2y^2=128, $$
$$ y^2=64, $$
$$ y=\pm 8. $$
Подходящие пары: $$(10; 8)$$, $$(10; -8)$$, $$(-10; 8)$$, $$(-10; -8)$$.