Упр.526 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

х2 + у2 = 5,
х — у = m
имеет: а) одно решение; б) два решения?

Из второго уравнения выразим $$y$$:

$$x-y=m \;\Rightarrow\; y=x-m.$$

Подставим в первое уравнение:

$$x^2+(x-m)^2=5.$$

Получаем квадратное уравнение относительно $$x$$:

$$x^2+x^2-2mx+m^2=5,$$

$$2x^2-2mx+(m^2-5)=0.$$

Число решений системы равно числу решений этого уравнения.

1) Одно решение бывает при $$D=0$$:

$$D=(-2m)^2-4\cdot 2\cdot (m^2-5)=0,$$

$$4m^2-8m^2+40=0,$$

$$-4m^2+40=0,$$

$$m^2=10,$$

$$m=\pm\sqrt{10}.$$

2) Два решения бывают при $$D>0$$:

$$-4m^2+40>0,$$

$$m^2<10,$$

$$-\sqrt{10}<m<\sqrt{10}.$$

Ответ

а) $$m=\pm\sqrt{10}$$; б) $$-\sqrt{10}<m<\sqrt{10}$$.