Упр.525 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)
система
х2 + у2 = r2,
У = -x2 + 4, где r — положительное число?
Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} x^2+y^2=r^2,\\ y=-x^2+4, \end{cases} $$
График уравнения $$x^2+y^2=r^2$$ — окружность с центром в точке $$O(0;0)$$ и радиусом $$r$$.
График уравнения $$y=-x^2+4$$ — парабола, ветви которой направлены вниз, вершина находится в точке $$ (0;4) $$.
Подставим $$y=-x^2+4$$ в уравнение окружности:
$$ x^2+(-x^2+4)^2=r^2. $$
Обозначим $$t=x^2$$, тогда $$t\ge 0$$ и получаем
$$ t+(4-t)^2=r^2, $$
$$ t+16-8t+t^2=r^2, $$
$$ t^2-7t+(16-r^2)=0. $$
Число решений системы равно числу неотрицательных корней этого уравнения по $$t$$, а затем каждому значению $$t=x^2$$ соответствуют точки с $$x=\pm\sqrt t$$.
Рассмотрим возможные случаи пересечения окружности и параболы. Минимальное расстояние от начала координат до параболы достигается в точке $$ (0;4) $$ и равно $$4$$, значит:
- если $$0<r<4$$, окружность не пересекает параболу;
- если $$r=4$$, окружность касается параболы в одной точке;
- если $$r>4$$, возможны 2, 4 или 0 точек пересечения в зависимости от радиуса.
Найдём значения $$r$$, при которых число точек пересечения меняется. Подставим $$x=0$$: тогда $$y=4$$, и точка $$ (0;4) $$ лежит на окружности только при $$r=4$$.
При касании и при переходе к двум симметричным точкам получаем критическое значение радиуса
$$ r=\sqrt{15}/2. $$
Следовательно, число решений системы зависит от $$r$$ так:
- если $$0<r<\frac{\sqrt{15}}{2}$$, решений нет;
- если $$r=\frac{\sqrt{15}}{2}$$ или $$r>4$$, решений два;
- если $$\frac{\sqrt{15}}{2}<r<4$$, решений четыре;
- если $$r=4$$, решений три.
Ответ
$$ \begin{cases} 0, & 0<r<\frac{\sqrt{15}}{2},\\ 2, & r=\frac{\sqrt{15}}{2}\ \text{или}\ r>4,\\ 4, & \frac{\sqrt{15}}{2}<r<4,\\ 3, & r=4. \end{cases} $$
