Упр.524 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Задача

а) система
x2-y+11=0,
y+x2=4;
б) система
(x+3)2+(y+4)2=1,
(x-2)2+(y-1)2=4;
в) система
y=|x|,
1×3/2-y=0.

Подробный ответ

а) Преобразуем уравнения системы:
$$x^2-y+11=0 \Rightarrow y=x^2+11,$$
$$y+x^2=4 \Rightarrow y=4-x^2.$$
Это параболы, одна из которых расположена выше оси $$Ox$$, а другая имеет вершину в точке $$\left(0;4\right)$$. Их графики не пересекаются.
Следовательно, система не имеет решений.
б) Даны окружности:
$$\left(x+3\right)^2+\left(y+4\right)^2=1,$$
$$\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2=4.$$
Первая окружность имеет центр $$\left(-3;-4\right)$$ и радиус $$1$$, вторая — центр $$\left(2;1\right)$$ и радиус $$2$$. Расстояние между центрами равно
$$\sqrt{\left(2+3\right)^2+\left(1+4\right)^2}=\sqrt{25+25}=5\sqrt{2}.$$
Так как $$5\sqrt{2}>1+2=3,$$ окружности не пересекаются.
Следовательно, система не имеет решений.
в) Преобразуем второе уравнение:
$$\frac{1}{2}x^3-y=0 \Rightarrow y=\frac{1}{2}x^3.$$
Нужно найти точки пересечения графиков $$y=|x|$$ и $$y=\frac{1}{2}x^3$$.
При $$x\ge 0$$ имеем $$|x|=x$$, тогда
$$x=\frac{1}{2}x^3 \Rightarrow x\left(\frac{1}{2}x^2-1\right)=0 \Rightarrow x=0 \text{ или } x=\sqrt{2}.$$
При $$x<0$$ имеем $$|x|=-x$$, тогда
$$-x=\frac{1}{2}x^3 \Rightarrow x\left(\frac{1}{2}x^2+1\right)=0,$$
но при $$x<0$$ это уравнение решений не даёт.
Значит, точки пересечения: $$\left(0;0\right)$$ и $$\left(\sqrt{2};\sqrt{2}\right)$$.