Упр.523 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)
а) система
y+x+x2=0,
x-y=10;
б) система
(x-2)2+y2=9,
y=x2-4x+4;
в) система
x2+y2=25,
y=2×2-14;
г) система
x2+y2=10,
xy=3;
д) система
x+y=8,
(x+1)2+y2=81;
е) система
y=-x2+4,
y=|x|.
а) Из первого уравнения получаем:
$$y+x+x^2=0 \Rightarrow y=-x^2-x.$$
Из второго уравнения:
$$x-y=10 \Rightarrow y=x-10.$$
Точки пересечения графиков находим из уравнения
$$-x^2-x=x-10,$$
$$x^2+2x-10=0.$$
$$x=-1\pm \sqrt{11}.$$
Тогда
$$y=x-10=-11\pm \sqrt{11}.$$
б) Второе уравнение:
$$y=x^2-4x+4=(x-2)^2.$$
Подставим в первое:
$$ (x-2)^2+(x-2)^4=9.$$
Обозначим $$t=(x-2)^2,\; t\ge 0.$$ Тогда
$$t+t^2=9,$$
$$t^2+t-9=0.$$
$$t=\frac{-1+\sqrt{37}}{2}.$$
Значит,
$$ (x-2)^2=\frac{-1+\sqrt{37}}{2},$$
$$x=2\pm \sqrt{\frac{-1+\sqrt{37}}{2}}.$$
А так как $$y=(x-2)^2,$$ то
$$y=\frac{-1+\sqrt{37}}{2}.$$
в) Из второго уравнения:
$$y=2x^2-14.$$
Подставим в первое:
$$x^2+(2x^2-14)^2=25.$$
Положим $$t=x^2,\; t\ge 0.$$ Тогда
$$t+(2t-14)^2=25,$$
$$4t^2-55t+171=0.$$
$$t=\frac{55\pm 13}{8}.$$
Получаем:
$$t=5 \quad \text{или} \quad t=\frac{21}{4}.$$
Но при $$t=\frac{21}{4}$$ имеем $$y=2t-14=-\frac{7}{2},$$ и
$$x^2+y^2=\frac{21}{4}+\frac{49}{4}=\frac{70}{4}\ne 25,$$
поэтому этот случай не подходит. При $$t=5$$:
$$x=\pm \sqrt{5}, \qquad y=2\cdot 5-14=-4.$$
г) Из уравнения $$xy=3$$ получаем $$y=\frac{3}{x}.$$ Подставим в первое:
$$x^2+\left(\frac{3}{x}\right)^2=10.$$
Умножим на $$x^2$$:
$$x^4-10x^2+9=0.$$
Положим $$t=x^2.$$ Тогда
$$t^2-10t+9=0,$$
$$t=1 \text{ или } t=9.$$
Следовательно,
$$x=\pm 1,\ \pm 3.$$
Соответствующие значения $$y=\frac{3}{x}$$:
$$(-3;-1),\ (-1;-3),\ (1;3),\ (3;1).$$
д) Из первого уравнения:
$$y=8-x.$$
Подставим во второе:
$$ (x+1)^2+(8-x)^2=81.$$
$$x^2+2x+1+x^2-16x+64=81,$$
$$2x^2-14x-16=0,$$
$$x^2-7x-8=0,$$
$$x=-1 \text{ или } x=8.$$
Тогда
$$y=9 \text{ или } y=0.$$
е) Так как $$y=|x|,$$ то подставим в первое уравнение:
$$|x|=-x^2+4.$$
Рассмотрим случаи.
1) Если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x$$ и
$$x=-x^2+4,$$
$$x^2+x-4=0,$$
$$x=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}.$$
Тогда
$$y=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}.$$
2) Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x$$ и
$$-x=-x^2+4,$$
$$x^2-x-4=0,$$
$$x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}.$$
Тогда
$$y=\frac{\sqrt{17}-1}{2}.$$
Ответ
а) $$\left(-1+\sqrt{11};\,-11+\sqrt{11}\right),\ \left(-1-\sqrt{11};\,-11-\sqrt{11}\right)$$;
б) $$\left(2-\sqrt{\frac{-1+\sqrt{37}}{2}};\ \frac{-1+\sqrt{37}}{2}\right),\ \left(2+\sqrt{\frac{-1+\sqrt{37}}{2}};\ \frac{-1+\sqrt{37}}{2}\right)$$;
в) $$(-\sqrt{5};\,-4),\ (\sqrt{5};\,-4)$$;
г) $$(-3;\,-1),\ (-1;\,-3),\ (1;\,3),\ (3;\,1)$$;
д) $$(-1;\,9),\ (8;\,0)$$;
е) $$\left(\frac{-1+\sqrt{17}}{2};\ \frac{-1+\sqrt{17}}{2}\right),\ \left(\frac{1-\sqrt{17}}{2};\ \frac{\sqrt{17}-1}{2}\right)$$.
