Упр.522 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 522. Найдите целые решения уравнения: а) х1 — у2 = 5; б) х2 — у2 = 8. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 makar9 522 95

Используем формулу разности квадратов:

$$x^2-y^2=(x-y)(x+y).$$

а)

$$x^2-y^2=5 \Rightarrow (x-y)(x+y)=5.$$

Так как числа целые, рассмотрим разложения числа $5$ на множители:

$$5=1\cdot 5=(-1)\cdot(-5).$$

1) $$\begin{cases}x-y=1\\x+y=5\end{cases}$$

Складываем уравнения:

$$2x=6,\quad x=3,\quad y=2.$$

2) $$\begin{cases}x-y=-1\\x+y=-5\end{cases}$$

$$2x=-6,\quad x=-3,\quad y=-2.$$

3) $$\begin{cases}x-y=5\\x+y=1\end{cases}$$

$$2x=6,\quad x=3,\quad y=-2.$$

4) $$\begin{cases}x-y=-5\\x+y=-1\end{cases}$$

$$2x=-6,\quad x=-3,\quad y=2.$$

Следовательно, целые решения:

$$ (3,2),\;(-3,-2),\;(3,-2),\;(-3,2). $$

б)

$$x^2-y^2=8 \Rightarrow (x-y)(x+y)=8.$$

Разложим число $8$ на множители:

$$8=2\cdot 4=(-2)\cdot(-4).$$

1) $$\begin{cases}x-y=2\\x+y=4\end{cases}$$

$$2x=6,\quad x=3,\quad y=1.$$

2) $$\begin{cases}x-y=-2\\x+y=-4\end{cases}$$

$$2x=-6,\quad x=-3,\quad y=-1.$$

3) $$\begin{cases}x-y=4\\x+y=2\end{cases}$$

$$2x=6,\quad x=3,\quad y=-1.$$

4) $$\begin{cases}x-y=-4\\x+y=-2\end{cases}$$

$$2x=-6,\quad x=-3,\quad y=1.$$

Следовательно, целые решения:

$$ (3,1),\;(-3,-1),\;(3,-1),\;(-3,1). $$

Ответ

а) $$ (3,2),\;(-3,-2),\;(3,-2),\;(-3,2) $$

б) $$ (3,1),\;(-3,-1),\;(3,-1),\;(-3,1) $$