Упр.515 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

а) система
4x(x + у) + у2 = 49,
4х(х — у) + у2 = 81;
б) система
3х(3х — 4у) + 4у2 = 64,
3x(3x + 4 у) + 4 у2 = 16.

а) Обозначим:

$$ \begin{cases} 4x(x+y)+y^2=49,\\ 4x(x-y)+y^2=81. \end{cases} $$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$ 4x(x+y)-4x(x-y)=49-81, $$
$$ 8xy=-32, $$
$$ xy=-4. $$

Тогда $$y=-\frac{4}{x}$$. Подставим в первое уравнение:

$$ 4x\left(x-\frac{4}{x}\right)+\frac{16}{x^2}=49, $$
$$ 4x^2-16+\frac{16}{x^2}=49, $$
$$ 4x^4-65x^2+16=0. $$

Положим $$t=x^2$$. Тогда:

$$ 4t^2-65t+16=0. $$

$$ D=65^2-4\cdot 4\cdot 16=3969, $$
$$ \sqrt{D}=63. $$

$$ t_1=\frac{65-63}{8}=\frac14,\qquad t_2=\frac{65+63}{8}=16. $$

Значит,

$$ x=\pm \frac12,\qquad x=\pm 4. $$

Найдём соответствующие значения $$y$$ из $$xy=-4$$:

$$ \left(\frac12,-8\right),\ \left(-\frac12,8\right),\ (4,-1),\ (-4,1). $$

б)

$$ \begin{cases} 3x(3x-4y)+4y^2=64,\\ 3x(3x+4y)+4y^2=16. \end{cases} $$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$ 3x(3x-4y)-3x(3x+4y)=64-16, $$
$$ -24xy=48, $$
$$ xy=-2. $$

Тогда $$y=-\frac{2}{x}$$. Подставим в первое уравнение:

$$ 3x\left(3x+\frac{8}{x}\right)+4\cdot \frac{4}{x^2}=16, $$
$$ 9x^2+24+\frac{16}{x^2}=16, $$
$$ 9x^4+8x^2+16=0. $$

Удобнее сразу преобразовать исходные уравнения:

$$ \begin{cases} (3x-2y)^2=64,\\ (3x+2y)^2=16. \end{cases} $$

Тогда получаем четыре системы:

$$ \begin{cases} 3x-2y=8,\\ 3x+2y=4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=2,\\ y=-1 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} 3x-2y=8,\\ 3x+2y=-4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=\frac23,\\ y=-3 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} 3x-2y=-8,\\ 3x+2y=4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=-\frac23,\\ y=3 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} 3x-2y=-8,\\ 3x+2y=-4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=-2,\\ y=1 \end{cases} $$

Ответ

а) $$\left(-\frac12;8\right),\ \left(\frac12;-8\right),\ (4;-1),\ (-4;1).$$

б) $$\left(2;-1\right),\ \left(\frac23;-3\right),\ \left(-\frac23;3\right),\ (-2;1).$$