Упр.514 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

а) система
x2+xy+y2=7,
x+xy+y=5;
б) система
x2+xy+y2=19,
x+xy+y=1.

а) Обозначим $$z=x+y.$$ Тогда из системы получаем:

$$ \begin{cases} x^2+xy+y^2=7,\\ x+xy+y=5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2+2xy+y^2+x+y=12,\\ z^2+z-12=0. \end{cases} $$

Решим квадратное уравнение:

$$ z^2+z-12=0,\quad D=1+48=49, $$

$$ z_{1,2}=\frac{-1\pm 7}{2}. $$

Отсюда $$z_1=3,$$ $$z_2=-4.$$

1) Если $$x+y=3,$$ то $$y=3-x.$$ Подставим во второе уравнение:

$$ x+x(3-x)+(3-x)=5 $$

$$ x^2-3x+2=0. $$

$$ D=9-8=1,\quad x_1=1,\ x_2=2. $$

Тогда $$y_1=2,$$ $$y_2=1.$$ Получаем точки $$ (1;2) $$ и $$ (2;1).$$

2) Если $$x+y=-4,$$ то $$y=-4-x.$$ Подстановка даёт:

$$ x+x(-4-x)+(-4-x)=5 $$

$$ x^2+4x+9=0. $$

$$ D=16-36=-20<0, $$

значит, решений нет.

б) Обозначим $$z=x+y.$$ Тогда:

$$ \begin{cases} x^2+xy+y^2=19,\\ x+xy+y=1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2+2xy+y^2+x+y=20,\\ z^2+z-20=0. \end{cases} $$

Решим уравнение:

$$ z^2+z-20=0,\quad D=1+80=81, $$

$$ z_{1,2}=\frac{-1\pm 9}{2}. $$

Отсюда $$z_1=4,$$ $$z_2=-5.$$

1) Если $$x+y=4,$$ то $$y=4-x.$$ Подставим во второе уравнение:

$$ x+x(4-x)+(4-x)=1 $$

$$ x^2-4x-3=0. $$

$$ D=16+12=28,\quad x=2\pm \sqrt7. $$

Тогда соответствующие значения $$y$$:

$$ y=4-x=2\mp \sqrt7. $$

Получаем точки $$ (2-\sqrt7;\,2+\sqrt7) $$ и $$ (2+\sqrt7;\,2-\sqrt7).$$

2) Если $$x+y=-5,$$ то $$y=-5-x.$$ Подстановка даёт:

$$ x+x(-5-x)+(-5-x)=1 $$

$$ x^2+5x+6=0. $$

$$ D=25-24=1,\quad x=-2 \text{ или } x=-3. $$

Тогда $$y=-3$$ или $$y=-2.$$ Получаем точки $$(-2;\,-3)$$ и $$(-3;\,-2).$$

Ответ

а) $$ (1;2),\ (2;1). $$
б) $$ (2-\sqrt7;\,2+\sqrt7),\ (2+\sqrt7;\,2-\sqrt7),\ (-2;\,-3),\ (-3;\,-2). $$