Упр.513 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

а) система
x2+y2=25,
xy=12;
б) система
x2+y2=26,
x+y=6.

а) Из второго уравнения выразим сумму или разность через тождество:

$$ x^2+y^2=25,\quad xy=12 $$
$$ x^2+2xy+y^2=25+24=49 $$
$$ (x+y)^2=49 $$
$$ x+y=7 \text{ или } x+y=-7 $$

1) Если $$x+y=7$$, то

$$ \begin{cases} x+y=7 \\ xy=12 \end{cases} $$
$$ t^2-7t+12=0 $$
$$ (t-3)(t-4)=0 $$
$$ t=3 \text{ или } t=4 $$

Получаем пары $$ (3;4) $$ и $$ (4;3) $$.

2) Если $$x+y=-7$$, то

$$ \begin{cases} x+y=-7 \\ xy=12 \end{cases} $$
$$ t^2+7t+12=0 $$
$$ (t+3)(t+4)=0 $$
$$ t=-3 \text{ или } t=-4 $$

Получаем пары $$ (-3;-4) $$ и $$ (-4;-3) $$.

б) Из второго уравнения выразим $$x$$:

$$ x+y=6,\quad x=6-y $$

Подставим в первое уравнение:

$$ (6-y)^2+y^2=26 $$
$$ 36-12y+y^2+y^2=26 $$
$$ 2y^2-12y+10=0 $$
$$ y^2-6y+5=0 $$
$$ (y-1)(y-5)=0 $$
$$ y=1 \text{ или } y=5 $$

Тогда:

$$ y=1 \Rightarrow x=6-1=5 $$
$$ y=5 \Rightarrow x=6-5=1 $$

Ответ

а) $$(-4;-3),\;(-3;-4),\;(3;4),\;(4;3)$$;

б) $$(1;5),\;(5;1)$$.