Упр.512 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

а) система
x2+xy=6,
y2+xy=3;
б) система
x2-xy=7,
y2-xy=9.

а) Сложим уравнения системы:

$$x^2+xy+y^2+xy=6+3$$

$$x^2+2xy+y^2=9$$

$$\left(x+y\right)^2=9$$

$$x+y=\pm 3$$

1) Если $$x+y=3,$$ то $$y=3-x.$$ Подставим во второе уравнение:

$$y^2+xy=3$$

$$\left(3-x\right)^2+x\left(3-x\right)=3$$

$$9-6x+x^2+3x-x^2=3$$

$$-3x=-6,\quad x=2,$$

$$y=3-2=1.$$

2) Если $$x+y=-3,$$ то $$y=-3-x.$$ Подставим во второе уравнение:

$$\left(-3-x\right)^2+x\left(-3-x\right)=3$$

$$9+6x+x^2-3x-x^2=3$$

$$3x=-6,\quad x=-2,$$

$$y=-3-(-2)=-1.$$

б) Сложим уравнения системы:

$$x^2-xy+y^2-xy=7+9$$

$$x^2-2xy+y^2=16$$

$$\left(x-y\right)^2=16$$

$$x-y=\pm 4$$

1) Если $$x-y=4,$$ то $$x=y+4.$$ Подставим в первое уравнение:

$$x^2-xy=7$$

$$\left(y+4\right)^2-y\left(y+4\right)=7$$

$$y^2+8y+16-y^2-4y=7$$

$$4y=-9,\quad y=-\frac{9}{4},$$

$$x=-\frac{9}{4}+4=\frac{7}{4}.$$

2) Если $$x-y=-4,$$ то $$x=y-4.$$ Подставим в первое уравнение:

$$\left(y-4\right)^2-y\left(y-4\right)=7$$

$$y^2-8y+16-y^2+4y=7$$

$$-4y=-9,\quad y=\frac{9}{4},$$

$$x=\frac{9}{4}-4=-\frac{7}{4}.$$

Ответ

а) $$\left(2;1\right),\ \left(-2;-1\right);$$ б) $$\left(\frac{7}{4};-\frac{9}{4}\right),\ \left(-\frac{7}{4};\frac{9}{4}\right).$$