Упр.511 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

а) система
x/y+y/x =25/12,
x2-y2=7;
б) система
x/y-y/x=2,1,
x2+y2=29.

а) Обозначим $$t=\frac{x}{y}.$$ Тогда из первого уравнения получаем

$$t+\frac{1}{t}=\frac{25}{12} \;\Rightarrow\; 12t^2-25t+12=0.$$

$$D=25^2-4\cdot 12\cdot 12=625-576=49.$$

$$t_1=\frac{25+7}{24}=\frac{4}{3}, \qquad t_2=\frac{25-7}{24}=\frac{3}{4}.$$

Теперь используем второе уравнение $$x^2-y^2=7.$$

1) Если $$\frac{x}{y}=\frac{4}{3},$$ то $$x=\frac{4}{3}y,$$ и

$$\frac{16}{9}y^2-y^2=7 \;\Rightarrow\; \frac{7}{9}y^2=7 \;\Rightarrow\; y^2=9.$$

Отсюда $$y=\pm 3,$$ тогда $$x=\pm 4.$$

2) Если $$\frac{x}{y}=\frac{3}{4},$$ то $$x=\frac{3}{4}y,$$ и

$$\frac{9}{16}y^2-y^2=7 \;\Rightarrow\; -\frac{7}{16}y^2=7,$$

откуда $$y^2=-16,$$ что невозможно.

б) Обозначим $$t=\frac{x}{y}.$$ Тогда из первого уравнения

$$t-\frac{1}{t}=2{,}1 \;\Rightarrow\; 10t^2-21t-10=0.$$

$$D=21^2+4\cdot 10\cdot 10=441+400=841.$$

$$t_1=\frac{21+29}{20}=\frac{5}{2}, \qquad t_2=\frac{21-29}{20}=-\frac{2}{5}.$$

Теперь используем второе уравнение $$x^2+y^2=29.$$

1) Если $$\frac{x}{y}=\frac{5}{2},$$ то $$x=\frac{5}{2}y,$$ и

$$\frac{25}{4}y^2+y^2=29 \;\Rightarrow\; \frac{29}{4}y^2=29 \;\Rightarrow\; y^2=4.$$

Отсюда $$y=\pm 2,$$ тогда $$x=\pm 5.$$

2) Если $$\frac{x}{y}=-\frac{2}{5},$$ то $$x=-\frac{2}{5}y,$$ и

$$\frac{4}{25}y^2+y^2=29 \;\Rightarrow\; \frac{29}{25}y^2=29 \;\Rightarrow\; y^2=25.$$

Отсюда $$y=\pm 5,$$ тогда $$x=\mp 2.$$

Ответ

а) $$(-4;\,-3),\ (4;\,3).$$

б) $$(-2;\,5),\ (2;\,-5),\ (-5;\,-2),\ (5;\,2).$$