Упр.510 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

а) система
х2 + 3х у -10у2 = 0,
х2 — 4ху + 3у = 0;
б) система
х2 + ху — 6у2 = 0,
х2 + 3xy + 2у — 6 = 0.

а)

Из первого уравнения выразим $x$ через $y$:

$$x^2+3xy-10y^2=0$$

$$D=(3y)^2+4\cdot 10y^2=49y^2$$

$$x_{1,2}=\frac{-3y\pm 7y}{2}$$

$$x_1=-5y,\quad x_2=2y$$

1) Если $x=-5y$, то

$$25y^2+20y^2+3y=0$$

$$45y^2+3y=0$$

$$3y(15y+1)=0$$

$$y=0 \text{ или } y=-\frac{1}{15}$$

Тогда

$$x=0 \text{ или } x=\frac{1}{3}$$

Получаем точки: $$(0;0),\left(\frac{1}{3};-\frac{1}{15}\right).$$

2) Если $x=2y$, то

$$4y^2-8y^2+3y=0$$

$$-4y^2+3y=0$$

$$y(4y-3)=0$$

$$y=0 \text{ или } y=\frac{3}{4}$$

Тогда

$$x=0 \text{ или } x=\frac{3}{2}$$

Получаем точки: $$(0;0),\left(\frac{3}{2};\frac{3}{4}\right).$$

б)

Из первого уравнения:

$$x^2+xy-6y^2=0$$

$$x^2+xy-6y^2=(x+3y)(x-2y)=0$$

Значит, либо $x=-3y$, либо $x=2y$.

1) Если $x=-3y$, то

$$9y^2-9y^2+2y-6=0$$

$$2y=6$$

$$y=3,\quad x=-9$$

Получаем точку $(-9;3)$.

2) Если $x=2y$, то

$$4y^2+6y^2+2y-6=0$$

$$10y^2+2y-6=0$$

$$5y^2+y-3=0$$

$$D=1-4\cdot 5\cdot(-3)=61$$

$$y_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{61}}{10}$$

Тогда

$$x_{1,2}=2y_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{61}}{5}$$

Получаем точки:

$$\left(\frac{-1+\sqrt{61}}{5};\frac{-1+\sqrt{61}}{10}\right),\quad \left(\frac{-1-\sqrt{61}}{5};\frac{-1-\sqrt{61}}{10}\right).$$

Ответ

а) $$(0;0),\left(\frac{1}{3};-\frac{1}{15}\right),\left(\frac{3}{2};\frac{3}{4}\right).$$

б) $$(-9;3),\left(\frac{-1+\sqrt{61}}{5};\frac{-1+\sqrt{61}}{10}\right),\left(\frac{-1-\sqrt{61}}{5};\frac{-1-\sqrt{61}}{10}\right).$$