Упр.508 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

a) система
х2 + ху — 2у2 — х + у = 0,
x2+y2=8;
б) система
x2-6xy+5y2-x+5y=0,
x2-20y2=5.

а)

Первое уравнение разложим на множители:

$$x^2+xy-2y^2-x+y=0$$

$$x^2+2xy-x-xy-2y^2+y=0$$

$$x(x+2y-1)-y(x+2y-1)=0$$

$$ (x-y)(x+2y-1)=0 $$

Значит, возможны два случая:

1) $$x-y=0,$$ то есть $$x=y.$$ Тогда из второго уравнения системы:

$$x^2+y^2=8$$

$$2y^2=8$$

$$y^2=4,$$

откуда $$y=\pm 2,$$ $$x=\pm 2.$$

Получаем точки $$(-2;-2)$$ и $$(2;2).$$

2) $$x+2y-1=0,$$ то есть $$x=1-2y.$$ Подставим во второе уравнение:

$$ (1-2y)^2+y^2=8 $$

$$ 1-4y+4y^2+y^2=8 $$

$$ 5y^2-4y-7=0 $$

$$ D=(-4)^2-4\cdot 5\cdot(-7)=16+140=156 $$

$$ y=\frac{4\pm\sqrt{156}}{10}=\frac{2\pm\sqrt{39}}{5} $$

Тогда

$$ x=1-2y=1-2\cdot \frac{2\pm\sqrt{39}}{5}=\frac{1\mp 2\sqrt{39}}{5}. $$

Получаем точки

$$\left(\frac{1-2\sqrt{39}}{5};\frac{2+\sqrt{39}}{5}\right),\quad \left(\frac{1+2\sqrt{39}}{5};\frac{2-\sqrt{39}}{5}\right).$$

б)

Первое уравнение разложим на множители:

$$x^2-6xy+5y^2-x+5y=0$$

$$x^2-xy-x-5xy+5y^2+5y=0$$

$$x(x-y-1)-5y(x-y-1)=0$$

$$ (x-5y)(x-y-1)=0 $$

Значит, возможны два случая:

1) $$x-y-1=0,$$ то есть $$x=y+1.$$ Подставим во второе уравнение:

$$ (y+1)^2-20y^2=5 $$

$$ y^2+2y+1-20y^2=5 $$

$$ 19y^2-2y+4=0 $$

$$ D=(-2)^2-4\cdot 19\cdot 4=4-304=-300<0 $$

Корней нет.

2) $$x-5y=0,$$ то есть $$x=5y.$$ Подставим во второе уравнение:

$$ 25y^2-20y^2=5 $$

$$ 5y^2=5 $$

$$ y^2=1 $$

$$ y=\pm 1 $$

Тогда $$x=5y,$$ значит, $$x=\pm 5.$$

Получаем точки $$(5;1)$$ и $$(-5;-1).$$

Ответ

а) $$(-2;-2),\ (2;2),\ \left(\frac{1-2\sqrt{39}}{5};\frac{2+\sqrt{39}}{5}\right),\ \left(\frac{1+2\sqrt{39}}{5};\frac{2-\sqrt{39}}{5}\right);$$

б) $$(5;1),\ (-5;-1).$$