Упр.507 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

а) система
(x-2y)(x+3y)=0,
x2-y2=12;
б) система
х2 — 4ху + 3у2 + 2х — 6у = 0,
х2 — ху + у2 = 7.

а)

$$ (x-2y)(x+3y)=0 $$
Значит, либо $$x-2y=0$$, либо $$x+3y=0$$.

1) Если $$x=2y$$, то

$$ x^2-y^2=12 \\ (2y)^2-y^2=12 \\ 4y^2-y^2=12 \\ 3y^2=12 \\ y^2=4 $$

$$ y=\pm 2,\quad x=\pm 4 $$
Получаем точки: $$ (4;2) $$ и $$ (-4;-2) $$.

2) Если $$x=-3y$$, то

$$ x^2-y^2=12 \\ (-3y)^2-y^2=12 \\ 9y^2-y^2=12 \\ 8y^2=12 \\ y^2=\frac{3}{2} $$

$$ y=\pm \frac{\sqrt6}{2},\quad x=\mp \frac{3\sqrt6}{2} $$
Получаем точки: $$\left(-\frac{3\sqrt6}{2};\frac{\sqrt6}{2}\right)$$ и $$\left(\frac{3\sqrt6}{2};-\frac{\sqrt6}{2}\right)$$.

б)

$$ x^2-4xy+3y^2+2x-6y=0 $$
Сгруппируем:
$$ x^2-4xy+3y^2+2x-6y = x^2-xy+2x-3xy+3y^2-6y $$
$$ = x(x-y+2)-3y(x-y+2) = (x-3y)(x-y+2) $$

Тогда система принимает вид:

$$ \begin{cases} (x-3y)(x-y+2)=0,\\ x^2-xy+y^2=7. \end{cases} $$

1) Если $$x=3y$$, то

$$ x^2-xy+y^2=7 \\ 9y^2-3y^2+y^2=7 \\ 7y^2=7 \\ y^2=1 $$

$$ y=\pm 1,\quad x=\pm 3 $$
Получаем точки: $$ (3;1) $$ и $$ (-3;-1) $$.

2) Если $$x=y-2$$, то

$$ x^2-xy+y^2=7 \\ (y-2)^2-y(y-2)+y^2=7 \\ y^2-4y+4-y^2+2y+y^2=7 \\ y^2-2y-3=0 $$

$$ D= (-2)^2-4\cdot 1\cdot (-3)=16 $$

$$ y=\frac{2\pm 4}{2} $$
Отсюда $$y=3$$ или $$y=-1$$.

Если $$y=3$$, то $$x=1$$; если $$y=-1$$, то $$x=-3$$.

Получаем точки: $$ (1;3) $$ и $$ (-3;-1) $$.

Ответ

а) $$ (4;2),\; (-4;-2),\; \left(-\frac{3\sqrt6}{2};\frac{\sqrt6}{2}\right),\; \left(\frac{3\sqrt6}{2};-\frac{\sqrt6}{2}\right) $$;
б) $$ (-3;-1),\; (1;3),\; (3;1) $$.