Упр.501 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Задача

а) полосу; б) угол; в) прямую?
Может ли эта система не иметь решений?
1) Обсудите, какое множество точек задаст на координатной плоскости каждое неравенство системы.
2) Выясните, при каких значениях k и b система неравенств задаёт полосу; угол; прямую.
3) Для каждого случая проиллюстрируйте свой ответ рисунком.
4) Приведите пример, когда такая система неравенств не имеет решений.

Подробный ответ

Рассмотрим систему

$$ \begin{cases} y \le 3x-1,\\ y \ge kx+b. \end{cases} $$

Каждое неравенство задаёт полуплоскость. Их пересечение зависит от взаимного расположения прямых $$y=3x-1$$ и $$y=kx+b$$.

1. Полоса. Полоса получается тогда, когда граничные прямые параллельны и различны. Значит, их угловые коэффициенты равны:

$$k=3.$$

Чтобы прямые не совпадали, нужно

$$b\ne -1.$$

Так как при $$y \le 3x-1$$ и $$y \ge 3x+b$$ решения есть только между параллельными прямыми, то для полосы нужно, чтобы нижняя прямая была ниже верхней:

$$b<-1.$$

2. Угол. Угол получается, когда прямые пересекаются, то есть имеют разные угловые коэффициенты:

$$k\ne 3.$$

При любом $$b\in \mathbb{R}$$ пересечение двух непараллельных полуплоскостей даёт угол.

3. Прямая. Пересечение двух неравенств вырождается в прямую, когда границы совпадают:

$$k=3,\quad b=-1.$$

Тогда система принимает вид

$$ \begin{cases} y \le 3x-1,\\ y \ge 3x-1, \end{cases} $$

и её решения — все точки прямой $$y=3x-1$$.

4. Отсутствие решений. Система может не иметь решений, если параллельные прямые расположены так, что одна полуплоскость лежит выше другой и они не пересекаются. Например, при

$$k=3,\quad b>-1$$

получаем

$$ \begin{cases} y \le 3x-1,\\ y \ge 3x+b, \end{cases} $$

а так как $$3x+b>3x-1$$, то решений нет.