Упр.463 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 463. На каждой из сторон прямоугольника построен квадрат. Сумма площадей квадратов равна 122 см2. Найдите стороны прямоугольника, если известно, что его площадь равна 30 см2.

Пусть стороны прямоугольника равны $$x$$ и $$y$$ см. Тогда по условию площадь прямоугольника:

$$xy=30.$$

На каждой стороне построен квадрат, значит сумма площадей квадратов равна

$$2x^2+2y^2=122,$$

откуда

$$x^2+y^2=61.$$

Возведём уравнение $$xy=30$$ в квадрат:

$$x^2y^2=900.$$

Обозначим $$x^2=a$$, $$y^2=b$$. Тогда

$$a+b=61,\quad ab=900.$$

Следовательно, числа $$a$$ и $$b$$ — корни уравнения

$$t^2-61t+900=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=61^2-4\cdot 900=3721-3600=121.$$

Тогда

$$t_{1,2}=\frac{61\pm 11}{2},$$

$$t_1=36,\quad t_2=25.$$

Значит,

$$x^2=36,\ y^2=25 \quad \text{или} \quad x^2=25,\ y^2=36.$$

Так как стороны прямоугольника положительны, получаем:

$$x=6,\ y=5 \quad \text{или} \quad x=5,\ y=6.$$

Ответ

$$5\text{ см и }6\text{ см}.$$