Упр.460 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 460. Периметр прямоугольного треугольника равен 84 см, а его гипотенуза равна 37 см. Найдите площадь этого треугольника.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $$x$$ и $$y$$ см. Тогда по условию

$$x+y+37=84,$$

а по теореме Пифагора

$$x^2+y^2=37^2=1369.$$

Из первого уравнения получаем:

$$x+y=47,\quad y=47-x.$$

Подставим во второе уравнение:

$$x^2+(47-x)^2=1369,$$

$$x^2+2209-94x+x^2=1369,$$

$$2x^2-94x+840=0,$$

$$x^2-47x+420=0.$$

Найдём корни:

$$D=47^2-4\cdot 420=2209-1680=529,$$

$$x=\frac{47\pm \sqrt{529}}{2}=\frac{47\pm 23}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=12,\quad x_2=35.$$

Тогда соответствующие значения второго катета:

$$y_1=47-12=35,\quad y_2=47-35=12.$$

Значит, катеты равны $$12$$ см и $$35$$ см. Тогда площадь треугольника:

$$S=\frac12xy=\frac12\cdot 12\cdot 35=210.$$

Ответ

$$210\text{ см}^2$$