Упр.449 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)
а) окружности х^2 + у^2 = 36 и параболы у = х^2 + 6;
б) окружностей х^2 + у^2 = 16 и (х — 2)^2 + у^2 = 36;
в) окружности х^2 + у^2 = 25 и прямой 4х — у = 0.
а) Из второго уравнения выразим $$x^2$$:
$$y=x^2+6 \Rightarrow x^2=y-6.$$
Подставим в первое уравнение:
$$x^2+y^2=36 \Rightarrow y-6+y^2=36,$$
$$y^2+y-42=0.$$
Решим квадратное уравнение:
$$D=1-4\cdot 1\cdot(-42)=169,$$
$$y=\frac{-1\pm 13}{2}.$$
Получаем:
$$y_1=6,\quad y_2=-7.$$
При $$y=6$$ имеем $$x^2=6-6=0,$$ значит $$x=0.$$
При $$y=-7$$ получаем $$x^2=-7-6=-13,$$ действительных решений нет.
Точка пересечения: $$\left(0;6\right).$$
б) Из первого уравнения:
$$x^2+y^2=16 \Rightarrow y^2=16-x^2.$$
Подставим во второе уравнение:
$$\left(x-2\right)^2+y^2=36,$$
$$x^2-4x+4+16-x^2=36,$$
$$-4x+20=36,$$
$$-4x=16,\quad x=-4.$$
Тогда
$$y^2=16-(-4)^2=16-16=0,\quad y=0.$$
Точка пересечения: $$\left(-4;0\right).$$
в) Из уравнения прямой:
$$4x-y=0 \Rightarrow y=4x.$$
Подставим в уравнение окружности:
$$x^2+y^2=25 \Rightarrow x^2+\left(4x\right)^2=25,$$
$$17x^2=25,$$
$$x=\pm \frac{5}{\sqrt{17}}=\pm \frac{5\sqrt{17}}{17}.$$
Тогда
$$y=4x=\pm \frac{20}{\sqrt{17}}=\pm \frac{20\sqrt{17}}{17}.$$
Точки пересечения:
$$\left(\frac{5\sqrt{17}}{17};\frac{20\sqrt{17}}{17}\right),\quad \left(-\frac{5\sqrt{17}}{17};-\frac{20\sqrt{17}}{17}\right).$$
Ответ
а) $$\left(0;6\right);$$ б) $$\left(-4;0\right);$$ в) $$\left(\frac{5\sqrt{17}}{17};\frac{20\sqrt{17}}{17}\right)$$ и $$\left(-\frac{5\sqrt{17}}{17};-\frac{20\sqrt{17}}{17}\right).$$
