Упр.444 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Задача

а) определите, пересекает ли парабола у = х2 — 8х + 16 прямую 2х — 3у = 0 и если да, то в каких точках;
б) найдите, в каких точках пересекаются окружность (х — 5)2 + (у — 4)2 = 65 и прямая 3х — у + 6 = 0.

Подробный ответ

а) Найдём точки пересечения параболы $$y=x^2-8x+16$$ и прямой $$2x-3y=0$$.
Из второго уравнения:
$$3y=2x,\qquad y=\frac{2}{3}x.$$
Подставим в уравнение параболы:
$$\frac{2}{3}x=x^2-8x+16.$$
Умножим на $$3$$:
$$2x=3x^2-24x+48,$$
$$3x^2-26x+48=0.$$
Найдём корни:
$$D=(-26)^2-4\cdot 3\cdot 48=676-576=100,$$
$$x=\frac{26\pm 10}{6}.$$
Тогда
$$x_1=6,\qquad x_2=\frac{8}{3}.$$
Найдём соответствующие значения $$y$$:
$$y_1=\frac{2}{3}\cdot 6=4,$$
$$y_2=\frac{2}{3}\cdot \frac{8}{3}=\frac{16}{9}.$$
Значит, точки пересечения: $$\left(6;4\right)$$ и $$\left(\frac{8}{3};\frac{16}{9}\right).$$
б) Найдём точки пересечения окружности $$\left(x-5\right)^2+\left(y-4\right)^2=65$$ и прямой $$3x-y+6=0$$.
Из уравнения прямой:
$$y=3x+6.$$
Подставим в уравнение окружности:
$$\left(x-5\right)^2+\left(3x+6-4\right)^2=65,$$
$$\left(x-5\right)^2+\left(3x+2\right)^2=65.$$
Раскроем скобки:
$$x^2-10x+25+9x^2+12x+4=65,$$
$$10x^2+2x-36=0,$$
$$5x^2+x-18=0.$$
Найдём корни:
$$D=1-4\cdot 5\cdot (-18)=361,$$
$$x=\frac{-1\pm 19}{10}.$$
Получаем:
$$x_1=\frac{9}{5},\qquad x_2=-2.$$
Тогда
$$y_1=3\cdot \frac{9}{5}+6=\frac{57}{5},\qquad y_2=3\cdot (-2)+6=0.$$
Следовательно, точки пересечения: $$\left(\frac{9}{5};\frac{57}{5}\right)$$ и $$(-2;0).$$