Упр.443 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

а) система
x-y=5,
1/x + 1/y =1/6;
б) система
x+y=6,
1/x-1/y=1/4;
в) система
3x+y=1,
1/x+1/y=-2,5;
г) система
1/y-1/x=1/3,
x-2y=2.

1. а) Из первого уравнения выразим $$x$$:

   $$x-y=5,\quad x=y+5.$$

   Подставим во второе уравнение:

   $$\frac{1}{y+5}+\frac{1}{y}=\frac{1}{6}.$$

   Умножим на $$6y(y+5)$$:

   $$6y+6(y+5)=y(y+5),$$

   $$12y+30=y^2+5y,$$

   $$y^2-7y-30=0.$$

   $$D=(-7)^2-4\cdot 1\cdot(-30)=169,$$

   $$y=\frac{7\pm 13}{2}.$$

   Отсюда $$y_1=10,\; y_2=-3.$$ Тогда

   $$x_1=10+5=15,\quad x_2=-3+5=2.$$

   Получаем пары решений: $$ (15; 10),\; (2; -3). $$

2. б) Из первого уравнения выразим $$y$$:

   $$x+y=6,\quad y=6-x.$$

   Подставим во второе уравнение:

   $$\frac{1}{x}-\frac{1}{6-x}=\frac{1}{4}.$$

   Умножим на $$4x(6-x)$$:

   $$4(6-x)-4x=x(6-x),$$

   $$24-8x=6x-x^2,$$

   $$x^2-14x+24=0.$$

   $$D=(-14)^2-4\cdot 24=100,$$

   $$x=\frac{14\pm 10}{2}.$$

   Тогда $$x_1=12,\; x_2=2.$$ Найдём $$y$$:

   $$y_1=6-12=-6,\quad y_2=6-2=4.$$

   Получаем пары решений: $$ (12; -6),\; (2; 4). $$

3. в) Из первого уравнения выразим $$y$$:

   $$3x+y=1,\quad y=1-3x.$$

   Подставим во второе уравнение:

   $$\frac{1}{x}+\frac{1}{1-3x}=-2{,}5=-\frac{5}{2}.$$

   Умножим на $$2x(1-3x)$$:

   $$2(1-3x)+2x=-5x(1-3x),$$

   $$2-6x+2x=-5x+15x^2,$$

   $$15x^2-x-2=0.$$

   $$D=(-1)^2-4\cdot 15\cdot(-2)=121,$$

   $$x=\frac{1\pm 11}{30}.$$

   Отсюда $$x_1=\frac{2}{5},\; x_2=-\frac{1}{3}.$$ Тогда

   $$y_1=1-3\cdot \frac{2}{5}=-\frac{1}{5},\quad y_2=1-3\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)=2.$$

   Получаем пары решений: $$\left(\frac{2}{5};-\frac{1}{5}\right),\; \left(-\frac{1}{3};2\right).$$

4. г) Из второго уравнения выразим $$x$$:

   $$x-2y=2,\quad x=2y+2.$$

   Подставим в первое уравнение:

   $$\frac{1}{y}-\frac{1}{2y+2}=\frac{1}{3}.$$

   Умножим на $$3y(2y+2)$$:

   $$3(2y+2)-3y=y(2y+2),$$

   $$6y+6-3y=2y^2+2y,$$

   $$2y^2-y-6=0.$$

   $$D=(-1)^2-4\cdot 2\cdot(-6)=49,$$

   $$y=\frac{1\pm 7}{4}.$$

   Тогда $$y_1=2,\; y_2=-\frac{3}{2}.$$ Найдём $$x$$:

   $$x_1=2\cdot 2+2=6,\quad x_2=2\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)+2=-1.$$

   Получаем пары решений: $$ (6; 2),\; (-1; -\frac{3}{2}). $$

Ответ

а) $$ (15; 10),\; (2; -3) $$; б) $$ (12; -6),\; (2; 4) $$; в) $$ \left(\frac{2}{5};-\frac{1}{5}\right),\; \left(-\frac{1}{3};2\right) $$; г) $$ (6; 2),\; \left(-1;-\frac{3}{2}\right). $$