Упр.441 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

а) система
x2+xy-y2=11,
x-2y=1;
б) система
x2+xy-3y=9,
3x+2y=-1.

а) Из второго уравнения выразим $$x$$:

$$x-2y=1$$
$$x=2y+1$$

Подставим в первое уравнение:

$$x^2+xy-y^2=11$$
$$ (2y+1)^2+y(2y+1)-y^2=11$$

$$4y^2+4y+1+2y^2+y-y^2=11$$
$$5y^2+5y-10=0$$
$$y^2+y-2=0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=1^2-4\cdot 1\cdot(-2)=9$$

$$y_{1,2}=\frac{-1\pm 3}{2}$$

$$y_1=1,\quad y_2=-2$$

Найдём соответствующие значения $$x$$:

при $$y=1$$: $$x=2\cdot 1+1=3$$;

при $$y=-2$$: $$x=2\cdot(-2)+1=-3$$.

Получаем решения: $$(-3;\,-2)$$ и $$ (3;\,1)$$.

б) Из второго уравнения выразим $$y$$:

$$3x+2y=-1$$
$$2y=-3x-1$$
$$y=-\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}$$

Подставим в первое уравнение:

$$x^2+xy-3y=9$$
$$x^2+x\left(-\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}\right)-3\left(-\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}\right)=9$$

$$x^2-\frac{3}{2}x^2-\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}x+\frac{3}{2}=9$$

$$-\frac{1}{2}x^2+4x-\frac{15}{2}=0$$
$$x^2-8x+15=0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 15=4$$

$$x_{1,2}=\frac{8\pm 2}{2}$$

$$x_1=5,\quad x_2=3$$

Найдём соответствующие значения $$y$$:

при $$x=5$$: $$y=-\frac{3}{2}\cdot 5-\frac{1}{2}=-8$$;

при $$x=3$$: $$y=-\frac{3}{2}\cdot 3-\frac{1}{2}=-5$$.

Получаем решения: $$ (3;\,-5)$$ и $$ (5;\,-8)$$.

Ответ

а) $$(-3;\,-2),\ (3;\,1)$$; б) $$ (3;\,-5),\ (5;\,-8)$$.