Упр.432 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Задача

а) система
x+y=8,
xy=-20;
б) система
x-y=0,8,
xy=2,4;
в) система
x2-y2=8,
x-y=4;
г) система
x2+y2=5,
x+y=-3

Подробный ответ

$$ \begin{cases} x+y=8,\\ xy=-20 \end{cases} $$
Из первого уравнения $$y=8-x$$. Подставим во второе:
$$ x(8-x)=-20 $$
$$ x^2-8x-20=0 $$
$$ D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot(-20)=64+80=144 $$
$$ x=\frac{8\pm 12}{2} $$
$$ x_1=10,\quad x_2=-2 $$
Тогда:
$$ y_1=8-10=-2,\quad y_2=8-(-2)=10 $$
Получаем пары $$ (10;\,-2) $$ и $$ (-2;\,10) $$.
$$ \begin{cases} x-y=0{,}8,\\ xy=2{,}4 \end{cases} $$
Из первого уравнения $$x=y+0{,}8$$. Подставим во второе:
$$ (y+0{,}8)y=2{,}4 $$
$$ y^2+0{,}8y-2{,}4=0 $$
Умножим на 5:
$$ 5y^2+4y-12=0 $$
$$ D=4^2-4\cdot 5\cdot(-12)=16+240=256 $$
$$ y=\frac{-4\pm 16}{10} $$
$$ y_1=1{,}2,\quad y_2=-2 $$
Тогда:
$$ x_1=1{,}2+0{,}8=2,\quad x_2=-2+0{,}8=-1{,}2 $$
Получаем пары $$ (2;\,1{,}2) $$ и $$ (-1{,}2;\,-2) $$.
$$ \begin{cases} x^2-y^2=8,\\ x-y=4 \end{cases} $$
Используем формулу разности квадратов:
$$ (x-y)(x+y)=8 $$
Так как $$x-y=4$$, то
$$ 4(x+y)=8,\quad x+y=2 $$
Решаем систему:
$$ \begin{cases} x-y=4,\\ x+y=2 \end{cases} $$
Складываем уравнения:
$$ 2x=6,\quad x=3 $$
$$ y=3-4=-1 $$
$$ \begin{cases} x^2+y^2=5,\\ x+y=-3 \end{cases} $$
Из второго уравнения $$x=-y-3$$. Подставим в первое:
$$ (-y-3)^2+y^2=5 $$
$$ y^2+6y+9+y^2=5 $$
$$ 2y^2+6y+4=0 $$
$$ y^2+3y+2=0 $$
$$ (y+1)(y+2)=0 $$
$$ y_1=-1,\quad y_2=-2 $$
Тогда:
$$ x_1=-(-1)-3=-2,\quad x_2=-(-2)-3=-1 $$