Упр.431 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

а) система
x-y=3,
xy=-2;
б) система
x+y=2,5,
xy=1,5
в) система
x+y=-1,
x2+y2=1;
г) система
x-y=2,
x2-y2=17.

1. $$x-y=3,\quad xy=-2$$

   Из первого уравнения получаем $$x=y+3$$. Подставим во второе:

   $$(y+3)y=-2$$
   $$y^2+3y+2=0$$
   $$(y+1)(y+2)=0$$
   $$y_1=-1,\quad y_2=-2$$

   Тогда
   $$x_1=-1+3=2,\quad x_2=-2+3=1.$$

   Получаем пары:
   $$(2;\,-1),\ (1;\,-2).$$

2. $$x+y=2{,}5,\quad xy=1{,}5$$

   Выразим $$x$$:
   $$x=2{,}5-y.$$
   Подставим во второе уравнение:

   $$(2{,}5-y)y=1{,}5$$
   $$y^2-2{,}5y+1{,}5=0$$
   $$2y^2-5y+3=0$$

   $$D=25-24=1$$
   $$y_{1,2}=\frac{5\pm1}{4}$$
   $$y_1=1{,}5,\quad y_2=1$$

   Тогда
   $$x_1=2{,}5-1{,}5=1,\quad x_2=2{,}5-1=1{,}5.$$

   Получаем пары:
   $$(1;\,1{,}5),\ (1{,}5;\,1).$$

3. $$x+y=-1,\quad x^2+y^2=1$$

   Из первого уравнения:
   $$x=-y-1.$$
   Подставим во второе:

   $$(-y-1)^2+y^2=1$$
   $$y^2+2y+1+y^2=1$$
   $$2y^2+2y=0$$
   $$2y(y+1)=0$$
   $$y_1=0,\quad y_2=-1$$

   Тогда
   $$x_1=-0-1=-1,\quad x_2=-(-1)-1=0.$$

   Получаем пары:
   $$(-1;\,0),\ (0;\,-1).$$

4. $$x-y=2,\quad x^2-y^2=17$$

   Используем формулу разности квадратов:
   $$x^2-y^2=(x-y)(x+y).$$
   Тогда

   $$2(x+y)=17$$
   $$x+y=\frac{17}{2}$$

   Решим систему
   $$\begin{cases} x-y=2,\\ x+y=\frac{17}{2}. \end{cases}$$
   Складываем уравнения:

   $$2x=\frac{21}{2}$$
   $$x=\frac{21}{4}=5{,}25$$

   Тогда
   $$y=x-2=\frac{21}{4}-2=\frac{13}{4}=3{,}25.$$

   Получаем пару:
   $$(5{,}25;\,3{,}25).$$

Ответ

а) $$(2;\,-1),\ (1;\,-2)$$

б) $$(1;\,1{,}5),\ (1{,}5;\,1)$$

в) $$(-1;\,0),\ (0;\,-1)$$

г) $$(5{,}25;\,3{,}25)$$