Упр.427 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 427. Докажите, что при а > -1 выражение ((a+1)/(a-1) — (a-1)/(a+1)): 4a/(5a-5) принимает положительные значения при всех допустимых значениях а. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 makar9 427 95

Пусть

$$N=\left(\frac{a+1}{a-1}-\frac{a-1}{a+1}\right):\frac{4a}{5a-5}.$$

Преобразуем выражение:

$$ \frac{a+1}{a-1}-\frac{a-1}{a+1} =\frac{(a+1)^2-(a-1)^2}{(a-1)(a+1)} =\frac{4a}{a^2-1}. $$

Тогда

$$ N=\frac{4a}{a^2-1}:\frac{4a}{5a-5} =\frac{4a}{a^2-1}\cdot\frac{5a-5}{4a}. $$

Сократим и разложим на множители:

$$ N=\frac{5(a-1)}{(a-1)(a+1)}=\frac{5}{a+1}. $$

Теперь рассмотрим знак выражения. При $$a>-1$$ имеем $$a+1>0$$, значит

$$\frac{5}{a+1}>0.$$

Следовательно, при всех допустимых значениях $$a>-1$$ данное выражение принимает положительные значения.

Ответ

$$\frac{5}{a+1}>0,\ \text{при } a>-1.$$