Упр.42 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Задача

а) y= (x- корень (x+6))/(x+5);
б) (4×2+25x)/(2x- корень (10-6x)).

Подробный ответ

а) $$y=\frac{x-\sqrt{x+6}}{x+5}$$

Область определения задаётся условиями:

$$x+6\ge 0,\quad x+5\ne 0.$$

Отсюда

$$x\ge -6,\quad x\ne -5,$$

значит,

$$D(x)=[-6;-5)\cup(-5;+\infty).$$

Нули функции найдём из уравнения

$$\frac{x-\sqrt{x+6}}{x+5}=0.$$

Тогда числитель равен нулю:

$$x-\sqrt{x+6}=0,$$

$$x=\sqrt{x+6}.$$

Так как правая часть неотрицательна, то $$x\ge 0.$$ Возведём в квадрат:

$$x^2=x+6,$$

$$x^2-x-6=0,$$

$$x_1=-2,\quad x_2=3.$$

С учётом условия $$x\ge 0$$ подходит только $$x=3.$$

б) $$y=\frac{4x^2+25x}{2x-\sqrt{10-6x}}$$

Область определения задаётся условиями:

$$10-6x\ge 0,\quad 2x-\sqrt{10-6x}\ne 0.$$

Из первого условия получаем

$$x\le \frac{5}{3}.$$

Из второго условия:

$$2x\ne \sqrt{10-6x}.$$

Если бы было $$2x=\sqrt{10-6x},$$ то после возведения в квадрат получили бы

$$4x^2=10-6x,$$

$$2x^2+3x-5=0,$$

$$D=3^2+4\cdot 2\cdot 5=49,$$

$$x_1=1,\quad x_2=-\frac52.$$

Проверяем с учётом условия $$2x=\sqrt{10-6x}$$: значение $$x=1$$ подходит, а $$x=-\frac52$$ не подходит, так как левая часть отрицательна, а правая неотрицательна. Значит, из области определения нужно исключить $$x=1.$$

Итак,

$$D(x)=(-\infty;1)\cup\left(1;\frac53\right].$$

Нули функции найдём из уравнения

$$\frac{4x^2+25x}{2x-\sqrt{10-6x}}=0.$$

Тогда числитель равен нулю:

$$4x^2+25x=0,$$

$$x(4x+25)=0,$$

$$x_1=0,\quad x_2=-\frac{25}{4}.$$

Оба значения принадлежат области определения, значит, это нули функции.