Упр.419 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

а) система
xy=6,
2x-3y=6;
б) система
(x-3)2+(y-4)2=4,
у — х2 = 0.
1) Обсудите, какое множество точек задаёт на плоскости каждое уравнение системы в заданиях а) и б).
2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга, правильно ли построены графики уравнений и определены координаты точек пересечения графиков.

а) Перепишем систему в виде графиков функций:

$$ \begin{cases} xy=6,\\ 2x-3y=6 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y=\dfrac{6}{x},\\ y=\dfrac{2}{3}x-2 \end{cases} $$

Точки пересечения графиков найдём из уравнения

$$ \dfrac{6}{x}=\dfrac{2}{3}x-2. $$

Умножим на $$3x$$:

$$ 18=2x^2-6x $$

$$ 2x^2-6x-18=0 $$

$$ x^2-3x-9=0. $$

Тогда

$$ x=\dfrac{3\pm\sqrt{9+36}}{2}=\dfrac{3\pm3\sqrt5}{2}. $$

Найдём соответствующие значения $$y$$ по формуле $$y=\dfrac{6}{x}$$:

$$ y=\dfrac{6}{\frac{3+3\sqrt5}{2}}=\dfrac{4}{1+\sqrt5}=\sqrt5-1, $$

$$ y=\dfrac{6}{\frac{3-3\sqrt5}{2}}=\dfrac{4}{1-\sqrt5}=-(\sqrt5+1). $$

Следовательно, решения системы:

$$ \left(\dfrac{3+3\sqrt5}{2},\,\sqrt5-1\right),\quad \left(\dfrac{3-3\sqrt5}{2},\,-\sqrt5-1\right). $$

б) Запишем уравнения графиков:

$$ \begin{cases} (x-3)^2+(y-4)^2=4,\\ y-x^2=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} (x-3)^2+(y-4)^2=4,\\ y=x^2 \end{cases} $$

Подставим $$y=x^2$$ в уравнение окружности:

$$ (x-3)^2+(x^2-4)^2=4. $$

Раскроем скобки:

$$ x^2-6x+9+x^4-8x^2+16=4 $$

$$ x^4-7x^2-6x+21=0. $$

Подбором находим корни: $$x=2$$ и $$x=\dfrac{12}{5}$$.

Тогда

$$ y=2^2=4,\qquad y=\left(\dfrac{12}{5}\right)^2=\dfrac{144}{25}. $$

Значит, точки пересечения графиков:

$$ (2,4),\quad \left(\dfrac{12}{5},\,\dfrac{144}{25}\right). $$

Ответ

а) $$\left(\dfrac{3+3\sqrt5}{2},\,\sqrt5-1\right),\ \left(\dfrac{3-3\sqrt5}{2},\,-\sqrt5-1\right).$$

б) $$(2,4),\ \left(\dfrac{12}{5},\,\dfrac{144}{25}\right).$$