Упр.417 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

система
х2 + у2 = 25,
у = х2- 6
имеет четыре решения, и найдите их.

Рассмотрим графики уравнений системы:

$$x^2+y^2=25$$

Это окружность с центром в точке $$O(0;0)$$ и радиусом $$R=5$$.

$$y=x^2-6$$

Это парабола, ветви которой направлены вверх. Её вершина:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{0}{2\cdot 1}=0,$$

$$y_0=0^2-6=-6.$$

Значит, вершина параболы — точка $$ (0;-6) $$.

По графику видно, что окружность и парабола пересекаются в четырёх точках. Найдём их координаты из системы:

$$ \begin{cases} x^2+y^2=25,\\ y=x^2-6. \end{cases} $$

Подставим $$y=x^2-6$$ в первое уравнение:

$$x^2+(x^2-6)^2=25.$$

Обозначим $$t=x^2$$. Тогда получаем:

$$t+(t-6)^2=25,$$

$$t+t^2-12t+36=25,$$

$$t^2-11t+11=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$t=\frac{11\pm\sqrt{121-44}}{2}=\frac{11\pm\sqrt{77}}{2}.$$

Так как $$t=x^2$$, то

$$x^2=\frac{11+\sqrt{77}}{2} \quad \text{или} \quad x^2=\frac{11-\sqrt{77}}{2}.$$

Тогда

$$x=\pm\sqrt{\frac{11+\sqrt{77}}{2}}, \quad x=\pm\sqrt{\frac{11-\sqrt{77}}{2}}.$$

Найдём соответствующие значения $$y$$ по формуле $$y=x^2-6$$:

$$y=\frac{11+\sqrt{77}}{2}-6=\frac{\sqrt{77}-1}{2},$$

$$y=\frac{11-\sqrt{77}}{2}-6=-\frac{1+\sqrt{77}}{2}.$$

Следовательно, система имеет четыре решения:

$$\left(-\sqrt{\frac{11+\sqrt{77}}{2}};\frac{\sqrt{77}-1}{2}\right),\ \left(\sqrt{\frac{11+\sqrt{77}}{2}};\frac{\sqrt{77}-1}{2}\right),\ \left(-\sqrt{\frac{11-\sqrt{77}}{2}};-\frac{1+\sqrt{77}}{2}\right),\ \left(\sqrt{\frac{11-\sqrt{77}}{2}};-\frac{1+\sqrt{77}}{2}\right).$$

Ответ

$$\left(-\sqrt{\frac{11+\sqrt{77}}{2}};\frac{\sqrt{77}-1}{2}\right),\ \left(\sqrt{\frac{11+\sqrt{77}}{2}};\frac{\sqrt{77}-1}{2}\right),\ \left(-\sqrt{\frac{11-\sqrt{77}}{2}};-\frac{1+\sqrt{77}}{2}\right),\ \left(\sqrt{\frac{11-\sqrt{77}}{2}};-\frac{1+\sqrt{77}}{2}\right).$$