Упр.393 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 393. Решите неравенство:

1. $$\frac{x-8}{x+4}>0$$

   Числитель и знаменатель должны быть одного знака:

   $$x-8>0,\ x+4>0 \Rightarrow x>8$$
   $$x-8<0,\ x+4<0 \Rightarrow x<-4$$

   $$x\in(-\infty;-4)\cup(8;+\infty)$$

2. $$\frac{x+16}{x-11}<0$$

   Числитель и знаменатель разных знаков:

   $$x+16<0,\ x-11>0 \Rightarrow \text{нет решений}$$
   $$x+16>0,\ x-11<0 \Rightarrow -16

   $$x\in(-16;11)$$

3. $$\frac{x+1}{3-x}\ge 0$$

   Перенесём знак в знаменателе:

   $$\frac{x+1}{3-x}\ge 0 \Rightarrow -\frac{x+1}{x-3}\ge 0 \Rightarrow \frac{(x+1)(x-3)}{x-3}\le 0$$

   Удобнее рассмотреть знаки множителей:

   $$(x+1)(3-x)\ge 0,\quad x\ne 3$$

   $$x\in[-1;3)$$

4. $$\frac{6-x}{x-4}\le 0$$

   Умножим числитель на $-1$:

   $$-\frac{x-6}{x-4}\le 0 \Rightarrow \frac{x-6}{x-4}\ge 0,\quad x\ne 4$$

   Числитель и знаменатель одного знака:

   $$x<4 \quad \text{или} \quad x\ge 6$$

   $$x\in(-\infty;4)\cup[6;+\infty)$$

5. $$\frac{2x-4}{3x+3}\le 0$$

   Разложим на множители:

   $$\frac{2(x-2)}{3(x+1)}\le 0,\quad x\ne -1$$

   Знак дроби неположителен, когда множители разных знаков или числитель равен нулю:

   $$x\in(-1;2]$$

6. $$\frac{5x-1}{2x+3}\ge 0$$

   Найдём нули числителя и знаменателя:

   $$5x-1=0 \Rightarrow x=\frac15,\qquad 2x+3=0 \Rightarrow x=-\frac32$$

   Тогда:

   $$x\in\left(-\infty;-\frac32\right)\cup\left[\frac15;+\infty\right)$$

Ответ

а) $$(-\infty;-4)\cup(8;+\infty)$$
б) $$(-16;11)$$
в) $$[-1;3)$$
г) $$(-\infty;4)\cup[6;+\infty)$$
д) $$(-1;2]$$
е) $$\left(-\infty;-\frac32\right)\cup\left[\frac15;+\infty\right)$$