Упр.382 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)
а) имеет четыре корня;
б) имеет два корня;
в) не имеет корней?
1) Обозначьте х^2 через у. Выясните, при каких значениях k полученное квадратное уравнение: имеет два корня, имеет один корень, не имеет корней.
2) Укажите знаки корней квадратного уравнения с переменной у, если корни существуют.
3) Сделайте вывод о числе корней заданного уравнения в зависимости от значения k.
Положим $$y=x^2.$$ Тогда исходное уравнение принимает вид
$$y^2-13y+k=0.$$
Чтобы уравнение относительно $$x$$ имело корни, нужно, чтобы уравнение относительно $$y$$ имело неотрицательные корни.
Найдём дискриминант:
$$D=169-4k.$$
1) Четыре корня у исходного уравнения будут тогда и только тогда, когда оба корня уравнения относительно $$y$$ положительны и различны. Это возможно при
$$D>0,$$
а также
$$13-\sqrt{169-4k}>0.$$
Отсюда
$$13>\sqrt{169-4k}$$
$$169>169-4k$$
$$k>0.$$
Совмещая условия, получаем
$$0<k<\frac{169}{4}.$$
2) Два корня у исходного уравнения будут в двух случаях:
— если один из корней уравнения относительно $$y$$ отрицателен, а другой неотрицателен; это происходит при
$$k<0;$$
— если корни совпадают, то есть $$D=0$$:
$$169-4k=0,$$
$$k=\frac{169}{4}.$$
Значит,
$$k<0 \text{ или } k=\frac{169}{4}.$$
3) Корней нет, если уравнение относительно $$y$$ не имеет действительных корней:
$$D<0,$$
$$169-4k<0,$$
$$k>\frac{169}{4}.$$
Ответ
а) $$0<k<\frac{169}{4}$$;
б) $$k<0$$ или $$k=\frac{169}{4}$$;
в) $$k>\frac{169}{4}.$$
