Упр.375 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 375. Решите уравнение:

а) Пусть $$y=x+\frac{1}{x}.$$ Тогда

$$ y^3=\left(x+\frac{1}{x}\right)^3=x^3+\frac{1}{x^3}+3\left(x+\frac{1}{x}\right), $$

откуда

$$ x^3+\frac{1}{x^3}=y^3-3y. $$

Подставим в уравнение:

$$ y^3-3y=22y $$

$$ y^3-25y=0 $$

$$ y(y^2-25)=0 $$

$$ y(y-5)(y+5)=0. $$

Значит, $$y=0,$$ $$y=5,$$ или $$y=-5.$$

1) $$x+\frac{1}{x}=0$$

$$ x^2+1=0 $$

Действительных корней нет.

2) $$x+\frac{1}{x}=5$$

$$ x^2-5x+1=0 $$

$$ D=25-4=21, $$

$$ x=\frac{5\pm\sqrt{21}}{2}. $$

3) $$x+\frac{1}{x}=-5$$

$$ x^2+5x+1=0 $$

$$ D=25-4=21, $$

$$ x=\frac{-5\pm\sqrt{21}}{2}. $$

б) Пусть $$y=x-\frac{1}{x}.$$ Тогда

$$ y^3=\left(x-\frac{1}{x}\right)^3=x^3-\frac{1}{x^3}-3\left(x-\frac{1}{x}\right), $$

следовательно,

$$ x^3-\frac{1}{x^3}=y^3+3y. $$

Подставим в уравнение:

$$ y^3+3y=19y $$

$$ y^3-16y=0 $$

$$ y(y^2-16)=0 $$

$$ y(y-4)(y+4)=0. $$

Значит, $$y=0,$$ $$y=4,$$ или $$y=-4.$$

1) $$x-\frac{1}{x}=0$$

$$ x^2-1=0 $$

$$ x=\pm 1. $$

2) $$x-\frac{1}{x}=4$$

$$ x^2-4x-1=0 $$

$$ D=16+4=20, $$

$$ x=\frac{4\pm\sqrt{20}}{2}=2\pm\sqrt{5}. $$

3) $$x-\frac{1}{x}=-4$$

$$ x^2+4x-1=0 $$

$$ D=16+4=20, $$

$$ x=\frac{-4\pm\sqrt{20}}{2}=-2\pm\sqrt{5}. $$

Ответ

а) $$x=\frac{5\pm\sqrt{21}}{2},\ \frac{-5\pm\sqrt{21}}{2}.$$

б) $$x=\pm1,\ 2\pm\sqrt5,\ -2\pm\sqrt5.$$