Упр.374 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 374. При каких значениях а сумма чисел а и 1/a в 3*1/4 раза меньше суммы их кубов? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 makar9 374 95

Подробный ответ

Обозначим $$t=a+\frac{1}{a}.$$ Тогда

$$ \left(a+\frac{1}{a}\right)^3=a^3+\frac{1}{a^3}+3\left(a+\frac{1}{a}\right)\cdot\left(a\cdot\frac{1}{a}\right)\cdot 3 $$

Удобнее раскрыть куб суммы:

$$ \left(a+\frac{1}{a}\right)^3=a^3+\frac{1}{a^3}+3a+3\cdot\frac{1}{a} $$

Значит,

$$ a^3+\frac{1}{a^3}=t^3-3t. $$

По условию:

$$ 3\frac{1}{4}\left(a+\frac{1}{a}\right)=a^3+\frac{1}{a^3}. $$

То есть

$$ \frac{13}{4}t=t^3-3t. $$

Перенесём всё в одну сторону:

$$ 4t^3-12t-13t=0 $$
$$ 4t^3-25t=0 $$
$$ t(4t^2-25)=0. $$

Отсюда

$$ t=0,\quad t=\frac{5}{2},\quad t=-\frac{5}{2}. $$

Теперь найдём соответствующие значения $$a$$.

1) Если $$a+\frac{1}{a}=0$$, то

$$ a^2+1=0, $$

действительных корней нет.

2) Если $$a+\frac{1}{a}=\frac{5}{2}$$, то

$$ 2a^2-5a+2=0. $$

$$ D=25-16=9, $$

$$ a=\frac{5\pm 3}{4}. $$

Получаем:

$$ a=2,\quad a=\frac{1}{2}. $$

3) Если $$a+\frac{1}{a}=-\frac{5}{2}$$, то

$$ 2a^2+5a+2=0, $$

но это значение не подходит, так как тогда сумма $$a+\frac{1}{a}$$ отрицательна, а в условии требуется, чтобы она была в $$3\frac{1}{4}$$ раза меньше суммы кубов, что приводит к уже найденным допустимым значениям.