Упр.373 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

а) 2(x2+1/x2)-(x+1/x)=2;
б) 9×2-18x+9/x2-18/x=22.

а) Введём новую переменную: $$t=x+\frac{1}{x}, \quad x\neq 0.$$ Тогда

$$t^2=x^2+2+\frac{1}{x^2},$$

откуда

$$x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2.$$

Подставим в уравнение:

$$2\left(t^2-2\right)-t=2,$$

$$2t^2-t-6=0.$$

Найдём корни:

$$D=(-1)^2-4\cdot 2\cdot(-6)=49,$$

$$t_{1,2}=\frac{1\pm 7}{4}.$$

Получаем:

$$t_1=2,\quad t_2=-\frac{3}{2}.$$

1) Если $$x+\frac{1}{x}=2,$$ то

$$x^2-2x+1=0,$$

$$\left(x-1\right)^2=0,$$

$$x=1.$$

2) Если $$x+\frac{1}{x}=-\frac{3}{2},$$ то

$$2x^2+3x+2=0,$$

$$D=3^2-4\cdot 2\cdot 2=-7<0,$$

действительных корней нет.

Значит, $$x=1.$$

б) Введём новую переменную: $$t=x+\frac{1}{x}, \quad x\neq 0.$$ Тогда

$$x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2.$$

Подставим в уравнение:

$$9\left(t^2-2\right)-18t=22,$$

$$9t^2-18t-40=0.$$

Найдём корни:

$$D=(-18)^2-4\cdot 9\cdot(-40)=1764,$$

$$t_{1,2}=\frac{18\pm 42}{18}.$$

Получаем:

$$t_1=\frac{10}{3},\quad t_2=-\frac{4}{3}.$$

1) Если $$x+\frac{1}{x}=\frac{10}{3},$$ то

$$3x^2-10x+3=0,$$

$$D=100-36=64,$$

$$x_{1,2}=\frac{10\pm 8}{6}.$$

Отсюда

$$x_1=3,\quad x_2=\frac{1}{3}.$$

2) Если $$x+\frac{1}{x}=-\frac{4}{3},$$ то

$$3x^2+4x+3=0,$$

$$D=16-36=-20<0,$$

действительных корней нет.

Ответ

а) $$x=1$$; б) $$x=3,\ \frac{1}{3}$$.