Упр.372 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 372. Решите уравнение:

а) Обозначим

$$t=\left(\frac{x+1}{x-2}\right)^2,\quad t>0.$$

Тогда

$$\left(\frac{x-2}{x+1}\right)^2=\frac{1}{t}.$$

Получаем уравнение

$$t-\frac{16}{t}=15.$$

Умножим на $$t$$:

$$t^2-16=15t,$$

$$t^2-15t-16=0.$$

Найдём корни:

$$D=15^2+4\cdot 16=225+64=289,$$

$$t_1=\frac{15+17}{2}=16,\quad t_2=\frac{15-17}{2}=-1.$$

Так как $$t>0,$$ значение $$t=-1$$ не подходит. Значит,

$$\left(\frac{x+1}{x-2}\right)^2=16.$$

Тогда

$$\frac{x+1}{x-2}=4 \quad \text{или} \quad \frac{x+1}{x-2}=-4.$$

1) $$x+1=4x-8,$$

$$3x=9,$$

$$x=3.$$

2) $$x+1=-4x+8,$$

$$5x=7,$$

$$x=\frac{7}{5}=1{,}4.$$

Проверка ОДЗ: $$x\neq 2,\; x\neq -1,$$ оба найденных значения подходят.

б) Обозначим

$$t=\left(\frac{x+3}{x-5}\right)^2,\quad t>0.$$

Тогда

$$\left(\frac{x-5}{x+3}\right)^2=\frac{1}{t}.$$

Получаем

$$t-\frac{9}{t}=8.$$

Умножим на $$t$$:

$$t^2-9=8t,$$

$$t^2-8t-9=0.$$

Найдём корни:

$$D=8^2+4\cdot 9=64+36=100,$$

$$t_1=\frac{8+10}{2}=9,\quad t_2=\frac{8-10}{2}=-1.$$

Так как $$t>0,$$ значение $$t=-1$$ не подходит. Значит,

$$\left(\frac{x+3}{x-5}\right)^2=9.$$

Тогда

$$\frac{x+3}{x-5}=3 \quad \text{или} \quad \frac{x+3}{x-5}=-3.$$

1) $$x+3=3x-15,$$

$$2x=18,$$

$$x=9.$$

2) $$x+3=-3x+15,$$

$$4x=12,$$

$$x=3.$$

Проверка ОДЗ: $$x\neq 5,\; x\neq -3,$$ оба найденных значения подходят.

Ответ

а) $$x=1{,}4;\; 3.$$
б) $$x=3;\; 9.$$