Упр.367 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 367. Найдите корни уравнения:

1. $$\frac{1}{x^2-6x+8}-\frac{1}{x-2}+\frac{10}{x^2-4}=0$$

   Разложим знаменатели на множители:
   $$x^2-6x+8=(x-2)(x-4), \quad x^2-4=(x-2)(x+2).$$

   Тогда
   $$ \frac{1}{(x-2)(x-4)}-\frac{1}{x-2}+\frac{10}{(x-2)(x+2)}=0. $$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$ \frac{x+2-(x-4)(x+2)+10(x-4)}{(x-2)(x-4)(x+2)}=0. $$

   Числитель равен:
   $$ x+2-(x^2-2x-8)+10x-40=0, $$
   $$ -x^2+13x-30=0, $$
   $$ x^2-13x+30=0. $$

   $$ D=13^2-4\cdot 1\cdot 30=169-120=49. $$
   Тогда
   $$ x_1=\frac{13-7}{2}=3, \quad x_2=\frac{13+7}{2}=10. $$

   Область определения:
   $$x\neq 2,\quad x\neq 4,\quad x\neq -2.$$
   Оба найденных корня подходят.

2. $$\frac{3}{x^2-x-6}+\frac{3}{x+2}=\frac{7}{x^2-9}$$

   Разложим знаменатели:
   $$x^2-x-6=(x+2)(x-3), \quad x^2-9=(x-3)(x+3).$$

   Тогда
   $$ \frac{3}{(x+2)(x-3)}+\frac{3}{x+2}=\frac{7}{(x-3)(x+3)}. $$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$ \frac{3(x+3)+3(x-3)(x+3)-7(x+2)}{(x+2)(x-3)(x+3)}=0. $$

   Получаем:
   $$ 3x+9+3x^2-27-7x-14=0, $$
   $$ 3x^2-4x-32=0. $$

   $$ D=(-4)^2-4\cdot 3\cdot(-32)=16+384=400. $$
   Тогда
   $$ x_1=\frac{4+20}{6}=4, \quad x_2=\frac{4-20}{6}=-\frac{8}{3}. $$

   Область определения:
   $$x\neq -2,\quad x\neq 3,\quad x\neq -3.$$
   Оба корня подходят.

Ответ

а) $$3,\ 10$$
б) $$4,\ -\frac{8}{3}$$